2018年高考数学考纲与考试说明解读

1/532018年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议类别年份全国Ⅰ全国Ⅱ全国Ⅲ函数导数（文）20179.函数的单调性，对称性（中心对称，线对称）8.复合函数的单调性7.函数图像的判定14.曲线的切线方程14.函数的奇偶性12.函数的零点综合21.导数，讨论单调性，恒成立问题21.导数①单调性②恒成立问题16.分段函数解不等式21.导数①单调性②构造函数证明不等式20168.指对数的大小比较10.函数的定义域值域7.指对数的大小比较9.函数图像的判定12.函数的对称性16.函数的奇偶性与导数关系（切线问题）12.函数单调性研究参数取值范围21.导数①切线方程②恒成立问题21.导数①单调性②证明不等式21.导数①单调性（定义域）②双零点的参数范围，2/53全国课标卷考查内容分析（考什么）（一）结论：考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）;函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数；（2）函数的性质；（3）基本函数；（4）函数图像；（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；（7）导数及其应用；（8）定积分。解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。类别年份21.导数，双零点的参数范围，极值点偏移（函数构造）21.导数①单调性（定义域）②虚设零点的最值问题7.函数图像的判断12.函数的图像与性质（对称中心）6.指对数的大小比较8.指对数的大小比较16.导数公切线问题15.函数的奇偶性与导数关系（切线问题）全国Ⅰ全国Ⅱ全国Ⅲ函数导数（理）20175.抽象函数的单调性，奇偶性，解不等式11.函数的极值11.函数的零点11.指对数互化（大小比较）21.导数①恒成立求参数范围②虚设零点证明不等式15.分段函数解不等式21.导数，讨论单调性（超越不等式），双零点条件下的参数取值范围21.导数①恒成立求参数范围②数列与不等式综合（放缩法）21.导数（三角函数，复合函数的导数，二次函数，含绝对值的最值问题）20163/53考点：题型1函数的概念例1有以下判断：①f(x)＝|x|x与g(x)＝1x－x表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是________.题型2函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题）例2、已知函数2112xxfxxxaee有唯一零点，则a=A.12B.13C.12D.1C【解析】函数fx的零点满足2112eexxxxa，设11eexxgx，则21111111e1eeeeexxxxxxgx，当0gx时，1x；当1x时，0gx，函数gx单调递减；当1x时，0gx，函数gx单调递增，当1x时，函数gx取得最小值，为12g.设22hxxx，当1x时，函数hx取得最小值，为1，若0a，函数hx与函数agx没有交点；若0a，当11agh时，函数hx和agx有一个交点，即21a，解得12a.故选C.例3、（2012理科）（10）已知函数1()ln(1)fxxx；则()yfx4/53的图像大致为（）B（1）定义域（2）奇偶性（3）对称性（4）单调性（求导）（5）周期性（6）特征点（7）变化趋势1.考查角度(1)以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质;(2)考查分段函数的求值以及指数、对数的运算;(3)函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用;(4)高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间,有时在导数中考查函数的零点问题;(5)函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性,也可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间.2.题型及难易度选择题或填空题.难度:中等或偏上.2求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；1,ln(1)ytxxt1'111xtxx(1)0,31()034ln44ff5/53(5)正切函数y＝tanx，x≠kπ＋(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用例3（2013理科）若函数=的图像关于直线2x对称，则的最大值是______.1616)5()(,910)3(16)()3(16)34)(34()2(max2222222gtgtttttgxxxxxxxf法二：知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用数学思想：考查转化、数形结合体现了多角度、多维度、多层次题型4函数、方程、不等式及导数的综合应用例4、已知函数()fx=x﹣1﹣alnx．（1）若()0fx，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，21111++1+)222n()(1)(﹤m，求m的最小值．解：（1）fx的定义域为0，+.①若0a，因为11=-+2＜022faln，所以不满足题意；②若＞0a，由1axaf'xxx知，当0x,a时，＜0f'x；当，+xa时，＞0f'x，所以fx在0,a单调递减，在，+a单调递增，故x=a是fx在0，+x的唯一最小值点.由于10f，所以当且仅当a=1时，0fx.故a=1（2）由（1）知当1，+x时，1＞0xlnx(1)(3)8(1)(5)15ffaffb法一：导数求最值问题6/53令1=1+2nx得111+＜22nnln，从而2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222nnnlnlnln故21111+1+1+＜222ne而231111+1+1+＞2222，所以m的最小值为3.（6）复习重点函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括1个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式；1个定理：零点存在性定理；1个关系：函数的零点是方程的根；2个变换：图象的平移变换和伸缩变换；2大种类：基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数)；2个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值;2个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义；3个要素：定义域、值域、解析式；3个二次：二次函数、二次方程、二次不等式；5个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.关注二阶导数在研究函数中的拓展应用虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注意过程性的学习，而不是定理的记忆．7/53①当a1时，恒有hx00h，从而hx是增函数，00h，0hx在0,恒成立②当a1时，hx在0,是增函数，00=a10,0,使hx0x0h，所用当0x0,0时xhx，从而hx是减函数，00h，0hx，所以0hx在0,不恒成立故1a即为所求.全国（2）卷文设函数f(x)=(1-x2)ex.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x0时，f(x)ax+1，求a的取值范围.（2）∵0x时，1fxax，∴211xxeax∴210xxxeeax，令21xxhxxeeax，即0,x时，0hx，而00h再令22xxxxhxxexeea，241xxxxe0x时，0x恒成立.∴hx在0,是增函数8/53（理21）已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。（1）求a的值；（2）证明：fx存在唯一的极大值点0x，且2202efx.参考解法：（1）()fx的定义域为(0,)设()lngxaxax，则()(),()0fxxgxfx等价于()0gx因为(1)0,()0ggx，故(1)0g，而1(),(1)1gxagax，得1a若1a，则1()1gxx当01x时，()0,()gxgx单调递减；当1x时，()0,()gxgx单调递增所以1x是()gx的极小值点，故()(1)0gxg，综上，1a9/53且当00,xx时，0x；当0,1xx时，0x；当1,x时，0x.又'fxx，所以0xx是()fx的唯一极大值点.且0000)(1ln)xxxf（x由0'0fx得00ln21xx，故0001fxxx.由00,1x得014fx.因为0xx是()fx在0,1的唯一极大值点，由10,1e，10fe得120fxfee所以220()2efx.10/53（2016年Ⅱ卷理21）（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数2()e2xxfxx的单调性，并证明当0x时，(2)e20xxx；（Ⅱ）证明：当[0,1)a时，函数2e()=(0)xaxagxxx有最小值．设()gx的最小值为()ha，求函数()ha的值域．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）【零点分布和运用极值点满足等式】33(2)e(2)(2)'()(())xxaxxgxfxaxx．由（Ⅰ）知，()fxa单调递增，对任意[0,1)a，(0)10faa，(2)0faa．因此存在唯一0(0,2]x，使得0()0fxa，即0'()0gx．当00xx，0()0fxa，0'()0gx，()gx单调递减；当0xx，0()0fxa，0'()0gx，0()gx单调递增．因此()gx在0xx处取得最小值，最小值为000000022000e(1)e()(1)e()=2xxxaxfxxgxxxx．于是()ha00e2xx，由000200(1)ee()02(2)xxxxx，00e2xx单调递增．