【精品推荐】球面几何 选修3-3 第七讲 球面三角形的边角关系解析

旧知回顾定性研究和定量研究相结合是问题的一般方法．前面几讲，我们对球面三角形的边角关系进行了定性研究，得出了“两边之和大于第三边”“大边对大角”“等边对等角”等结论．新课导入我们知道，平面三角形的边角之间存在定量的边角关系:正弦定理、余弦定理．对于球面三角形，其边角之间是否有类似平面三角形的正弦定理、余弦定理这种定量关系呢？为方便类比，我们首先给出平面上的正弦定理、余弦定理．CBAacb图7-1平面如下图所示，ABC则有正弦定理：sinAsinBsinC==;abc222a=b+c-2bccosA,222b=a+c-2accosB,222c=a+b-2abcosC,余弦定理：教学目标•感知球面三角形的定量研究在现实中的应用．•掌握球面上的正弦定理和余弦定理．•了解正弦定理和余弦定理的证明．知识与能力•通过观察，了解正弦定理和余弦定理的特点．•进一步了解球面三角形再实际生活中的应用．•通过实例来深入对球面三角形的认识．过程与方法•让学生从定量的角度来学习球面三角形．•从生活中大量存在的现象中得出规律．•培养合作交流意识．情感态度与价值观•球面上的正弦定理和余弦定理．•余弦定理的证明．•余弦定理的应用．教学重难点一、球面上的正弦定理和余弦定理为简便起见，考虑单位球面上的情况图7-2OFCBAacbHDEG如图7-2，单位球面上球面△ABC的边长分别为a，b，c，则a=BC=∠BOC（弧度），a=BC=∠BOC（弧度），a=BC=∠BOC（弧度），球面△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，根据球面角的定义可知，∠A，∠B，∠C，分别等于二面角C-OA-B，A-OB-C，A-OC-B的大小．下面，我们首先看一下二面角A-OB-C和二面角A-OC-B。如图7-2，过点A作AD⊥平面OBC，点D为垂足，再过D点分别作DE⊥OB，DF⊥OC，E、F为垂足，连结AE、AF．因为DE是AE在平面OBC的射影，且DE⊥OB，所以OB⊥AE.同理，OC⊥AF.因此，∠DEA和∠DFA分别为二面角A﹣OB﹣C和A﹣OC﹣B的平面角．所以，∠DEA=∠B,∠DFA=∠C.在Rt△ADE和Rt△ADF中,因为AD=AEsin∠DEA=OAsin∠AOBsinB=sincsinB,AD=AFsin∠DFA=OAsin∠AOCsinC=sinbsinC.所以，sincsinB=sinbsinC即sinBsinC=sinbsinc同理sinAsinC=sinasinc所以,可以得到：球面上的正弦定理设单位球面上球面△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C，三边长分别为a,b,c，则sinAsinBsinC==sinasinbsinc继续考察图7-2，则OF=cosb,OE=cosc.过点F作FG⊥OB于G点，则OE=OG+GE,OG=OFcosa=cosbcosa.过点D在平面OBC内作DH⊥FG，垂足为H，则DH∥OB，所以有∠DFH=∠BOC=a,且四边形DEGH是矩形．所以GE=DH=DFsin∠BOC=AFcosCsina=sinbsinacosC.因此,cosc=cosacosb+sinasinbcosC.同理cosa=cosbcosc+sinbsinccosA.cosb=cosacosc+sinasinccosB.于是，得到：球面上的余弦定理设单位球面上球面的三个内角分别为∠A,∠B,∠C，三边长分别为a,b,c，则ABCcosc=cosacosb+sinasinbcosC.cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，cosb=cosccosa+sincsinacosB，如果球的半径为r，那么从上图可知BC=a=r∠BOC,AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB，因此在推导过程中，分别用a／r,b／r,c／r代替a,b,c，就得到半径为r的球面上的正弦定理与余弦定理．正弦定理；sinAsinBsinC==abcsinsinsinrrr余弦定理abcbccos=coscos+sinsincosArrrrrbcacacos=coscos+sinsincosBrrrrrcababcos=coscos+sinsincosCrrrrr在球上是否有类似于平面上的勾股定理？答案是肯定的，即存在类似于平面上的勾股定理．在球面△ABC中，若C=90°，称△ABC为球面直角三角形．由球面上的余弦定理可以得到球面直角三角形中三边之间的关系．称为球面上的“勾股定理”．球面上的“勾股定理”设单位球面上球面△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，其中一个内角∠C=90°，三边长分别为a,b,c，则cosc=cosacosb.设单位球面上球面△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，其中一个内角∠C=90°，三边长分别为a,b,c，则cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa,cosB=-cosCcosA+sinCsinAcosb,cosC=-cosAcosB+sinAsinBcosc.余弦定理的另一种表达式二、用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积为了证明球面上的余弦定理，引入一种新的运算——向量积．设向量a、b的夹角为，把大小为，方向垂直于a和b，且与a和b构成右手系的向量，叫做a和b的向量积．aa×bb图7-3absinθ记作a×b，大小表示为.sinabab容易验证，向量积满足以下的运算律：（1）(反交换律).（2）.（3）(分配律).ab=-ba(λa)b=λ(ab)=a(λb),(λR)a(b+c)=ab+ac我们知道，在空间直角坐标系中，可以用向量的坐标表示向量的数量积运算，同样也可以向量的坐标表示向量的向量积运算．利用向量的向量积和数量积的坐标关系，可以得到向量积和数量积之间的关系：（*）(ab)(cd)=(ac)(bd)-(ad)(bc)xzycda×babc×dc×d图7-4给定向量a,b,c,d,那么a×b和c×d分别是向量a,b和向量c,d所成平面的法向量,这两个法向量所成的角与向量a,b和向量c,d所成的平面二面角相等或互补，设这两个平面所成的二面角是，则(ab)(cd)=abcdcosθ2.球面上余弦定理的向量证明法图7-5OCABccbaba如图7-5，设单位球面上，球面的三边长分别为a,b,c，且它们满足：，则ABCOA=a,OB=b,OC=c(ab)(ac)=abaccosA=(absinc)(acsinb)cosA=sinbsinccosA(ab)(ac)=(aa)(bc)-(ac)(ba)=cosa-cosbcosccosa=cosbcosc+sinbsinccosA.又因为所以同理cosb=cosacosc+sinasinccosB.cosc=cosacosb+sinasinbcosC.这就得到球面上的余弦定理．类似的方法可以证明正弦定理．三从球面上的正弦定理看球面与平面观察平面上与球面上的正弦定理sinAsinBsinC==;abcsinAsinBsinC==.sinasinbsinc从形式上看两个分式中，对应项的分子相同，分母不同，一个是边长，一个是边长的正弦值．在什么情况下，边长的正弦值可以近似于边长的值呢？这说明，当球面三角形的边长相对于球的半径很小时，球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦定理．如果弧度数越小，单位圆中的正弦线长与相应的弧长就非常接近，即当a,b,c很小时，有，这时球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦定理．sin,sinsinaabb,cc.四球面上余弦定理的应用——求地球上两城市之间的距离地球表面可以近似看作球面，那么求地球上两地之间的距离就可以看成是求球面上两点之间的距离．设单位球面上两点A（，）、B（，），假设C为北极，球面的边长分别为a,b,c，由经度的定义可知球面角，再由球面上的余弦定理得：距离.1122ABC121221c=arccos[sinαsinα+cosαcosαcosβ-β]12ACB=β-β若半径为R，则两点之间的距离为Rc.课堂小结球面上的正弦定理和余弦定理：sinAsinBsinC==sinasinbsinccosc=cosacosb+sinasinbcosC.cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，cosb=cosccosa+sincsinacosB，