2-3[1].正交子空间

矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系DepartmentofMathematicsDepartmentofMathematics内积空间第二章DepartmentofMathematics一,子空间的正交1,定义:§2.3正交子空间1)设是欧氏(酉)空间V中的子空间,如果对恒有(,)0,则称向量与子空间正交，记作1.V1V,V1,V1V2)与是欧氏(酉)空间V中的两个子空间，如果对1V2V则称子空间与为正交的，记作2V1V12.VV12,,VV恒有(,)0DepartmentofMathematics①当且仅当中每个向量都与正交．12VV1V2V②1212{0}.VVVV③当且时，必有1V1V0.12(,)00.VV说明:④若,则:2121VVVVdimdim)dim(12VVDepartmentofMathematics2,定理:(1),设酉(欧氏)空间,为标准正交基,则:LV],,,[21nn,,,21njijiLLji,,2,1,,,)()((2),设,则:)(),(snsnmnmnRCBRCA()()0HRARBBA证明:设:],,,[,],,,[2121smbbbBaaaA()()(),()(,)01,2,,;1,2,,ijiijHjRARBaRAbRBabbaimjs0HBADepartmentofMathematics反之,0(,)01,2,,;1,2,,jiiHHjBAbaabimjs)(),(BRyARx令:C,,,212211mmmkkkakakakxCtttbtbtbtysss,,,212211则有:0),(),(11jijmisjibatkyx即:)()(BRARDepartmentofMathematics二、正交子空间的和1.正交补的定义：如果欧氏空间V的子空间满足并且12,VV12,VV则称为的正交补子空间.2V1V12,VVV2112VVorVV记作2,定理:,()()()()mnHmHACthenRANACandRANA证明：dim()dim()dim()HHHNAmRAmrankAmrankAmRADepartmentofMathematics证明：当时，V就是的唯一正交补．1{0}V1V当时，也是有限维欧氏空间.1V1{0}V12,,,,m取的一组正交基1V2．n维欧氏（酉）空间V的每个子空间V1都有唯一正交补V2=V1┴,使得V=V1V2.由定理，它可扩充成V的一组正交基121,,,,,,,mmnDepartmentofMathematics记子空间12,,.mnLV12.VVV显然,又对11221,mmxxxV112,mmnnxxV1111(,)(,)(,)0mnmniijjijijijmijmxxxx12.VV即为的正交补.2V1V12.VVV且,DepartmentofMathematics再证唯一性.设是的正交补，则23,VV1V1213VVVVV131,,1131(,)(,)由此可得10,23.VV对由上式知2,V13VV131133,,VV即有又1213,VVVV011(,)1131(,)(,)从而有3V即有同理可证32,VV23.VV唯一性得证.DepartmentofMathematics②维欧氏空间V的子空间W满足:n①子空间W的正交补记为即.Wi)()WWii)dimdimdimWWVniii)WWV注：ⅳ)W的正交补必是W的余子空间.W但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.WVWDepartmentofMathematics例：设11212(,),[1,1,0],[0,1,1]TTWL＝312RWW求W1的正交补空间W2使得解化为的正交基3R，将用施密特正交化方法3[1,0,0]T123,,将扩充为的基，其中取12,123,,3RDepartmentofMathematics11(1,1,0)T2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)11(,,1)22T111(,,)333T112213(,),()WLWWL则DepartmentofMathematics定理：设W1,W2都是酉（欧氏）空间V的子空间，则12121212(1)()(2)()DepartmentofMathematicsnV定义：设是一个维酉（正交）空间，是的一个线性变换，如果对任意的都有VTTyx,),())(),((yxyTxT则称是的一个酉（正交）变换。VT1.酉（正交）变换的定义§2.4酉(正交)变换、正交投影一,酉变换与正交变换DepartmentofMathematics定理1：酉（正交）变换是线性变换定理2：设是一个维酉（正交）空间，是的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉（正交）变换；(2)（3）将的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉（正交）变换在标准正交基下的矩阵表示为酉（正交）矩阵。推论：设为阶酉（正交）矩阵，则为上的酉（正交）变换VVAn)(,)(:nnRCxAxxTT)(nnRCTTVxxxT,)(nVDepartmentofMathematics