含参数的二次函数参数取值范围-答案

参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a＝3±2B．﹣1≤a＜2C．a＝3或﹣≤a＜2D．a＝3﹣2或﹣1≤a＜﹣【解答】解：由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3＝x在1≤x≤2上只有一个解，即x2+（a﹣3）x+3＝0在1≤x≤2上只有一个解，当△＝0时，即（a﹣3）2﹣12＝0a＝3±2当a＝3+2时，此时x＝﹣，不满足题意，当a＝3﹣2时，此时x＝，满足题意，当△＞0时，令y＝x2+（a﹣3）x+3，令x＝1，y＝a+1，令x＝2，y＝2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当a＝﹣1时，此时x＝1或3，满足题意；当a＝﹣时，此时x＝2或x＝，不满足题意，综上所述，a＝3﹣2或﹣1≤a＜，故选：D．2．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确第1页（共27页）B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得c＝1②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y第2页（共27页）＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当a＜0时，x＝﹣1时，y≤2时，且﹣＞﹣1，满足条件，可得a≤﹣1；当a＞0时，x＝2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y＝﹣x+，由，消去y得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，故选：A．4．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0），抛物线y＝a（x﹣h）2+k过点C，顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上．若抛物线与线段AB无公共点，则k的取值范围是（）第3页（共27页）A．0＜k＜2B．0＜k＜2或k＞C．k＞D．0＜k＜2或k＞【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，且点A（0，2），B（2，2），∴h＝1，k＞0．抛物线与线段AB无公共点分两种情况：当点M在线段AB下方时，∵点M的坐标为（1，k），∴0＜k＜2；当点M在线段AB上方时，有，解得：k＞．综上所述：k的取值范围为0＜k＜2或k＞．故选：B．二．填空题（共3小题）5．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．第4页（共27页）【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即k＝时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k＝0，解得k＝﹣2，∴要使抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．6．已知抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣8及抛物线C2：y＝x2﹣（4a+3）x+4a2+6a（a为常数），当﹣2＜x＜2a+3时，C1，C2图象都在x轴下方，则a的取值范围为﹣＜a≤﹣1．【解答】解：当y＝0时，有x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；当y＝0时，有x2﹣（4a+3）x+4a2+6a＝0，第5页（共27页）解得：x3＝2a，x4＝2a+3．∵两抛物线均开口向上，且当﹣2＜x＜2a+3时，C1，C2图象都在x轴下方，∴，解得：﹣＜a≤﹣1．故答案为：﹣＜a≤﹣1．7．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为﹣2≤n＜1或n＝2．【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0或，解得，﹣2≤n＜1或n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．三．解答题（共11小题）8．已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上．（1）直接写出直线l的解析式；（2）对于任意非零实数a，存在确定的n的值，使抛物线与x轴有唯一的公共点，求此时n的值；（3）当点P在x轴上时，抛物线与直线l的另一个交点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A，过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B，求的值或取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+n+3＝a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线P（n，n+3），∵顶点P在一条定直线l上，令n＝x，n+3＝y，∴y＝x+3，即：直线l的解析式为y＝x+3，（2）抛物线与x轴有唯一的公共点，第6页（共27页）令y＝0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3＝0，∴△＝（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）＝﹣4a（n+3）＝0，∵任意非零实数a，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线与x轴有唯一的公共点，此时n的值为﹣3，（3）由（1）知，P（n，n+3），∵点P在x轴上，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线y＝a（x+3）2，①∵直线l的解析式为y＝x+3②，联立①②得Q（﹣3+，），∵过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B，∴BQ＝||，∵过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A，∴a（x+3）2＝，∴x＝﹣3±，∴A（﹣3﹣，），∵Q（﹣3+，），∴AQ＝|﹣3+﹣（﹣3﹣）|＝||∴＝2．9．如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．第7页（共27页）（1）填空：∠AOB＝45°，用m表示点A′的坐标：A′（m，﹣m）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且＝时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即BC＝m，∵AB＝2BC，∴AB＝2m＝0B，∵∠ABO＝90°，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵＝，∴P（2m，m），第8页（共27页）∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点E（0，n），∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即m＝2n，∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），∵抛物线y＝ax2+bx+n过点E，A′，∴，整理得：am+b＝﹣1，即b＝﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，整理得：am＝，即抛物线解析式为y＝x2﹣x，由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y＝x，联立抛物线与直线OA解析式得：，解得：x＝5m，y＝5m，即M（5m，5m），令5m＝10，即m＝2，当m＝2时，a＝；若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，解得：am＝2，∵m＝2，∴a＝1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．10．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．第9页（共27页）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）．把C（0，8）代入，得a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；（2分）（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y＝x+8，它与x轴的夹角为45°．设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．则PH＝|10﹣t|，点P到CD的距离为．又．（4分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得t＝﹣10±8．∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8）．（6分）（3）由上求得E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．第10页（共27页）当x＝﹣8时，y＝﹣72+m．当x＝4时，y＝m．∴﹣72+m≤0或m≤12．∴0＜m≤72．（8分）②若抛物线向下平移，可设解析式为y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．（10分）11．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点D在直线y＝x上运动．抛物线与y轴相交于C点．（1）当b＝﹣4时，求C点坐标；（2）抛物线与x轴相交于A、B两点，当△ABD为直角三角形时，求b，c的值；（3）线段MN的端点M（﹣2，4），N（﹣1，1），若抛物线与线段MN有公共点，求b的取值范围．第11页（共27页）【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点D在直线y＝x上运动，∴设抛物线y＝x2+bx+c的顶点D的坐标是（﹣，﹣）．（1）如图1，∵点D在抛物线上，∴﹣＝（﹣）2+b•（﹣）+c，即c＝﹣+．又∵b＝﹣4，c＝﹣+＝6，即c＝6．令x＝0，则y＝c＝6，即C（0，6）；（2）如图2，连接AD、BD．∵点A、B是抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点，点D是顶点，∴AD＝BD，∴在直角△ABD中，∠ADB＝90°．设A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，则，解得，即b，c的值分别是2、0；（3）如图3，当点M（﹣1，1）在抛物线y＝x2+bx+c上时，b取最小值，所以，1＝1﹣b+c，即b＝c，则b＝﹣+，解得b＝6；当点N（﹣2，4）在抛物线y＝x2+bx+c上时，b取最大值，所以4＝4﹣2b+c，即2b＝c，则2b＝﹣+，解得b＝10，所以b