江西省南昌三中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

南昌三中2018-2019学年度下学期期中考试高一数学试卷一、选择题（共12题，每题5分）金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!1．等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于()A．±4B．4C．6D．－42．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝()A．－12B．12C．2D．－24．设等差数列na的前n项和为nS，若21mS，0mS，31mS，则m()A．3B．4C．5D．65．已知ABC和点M满足0MAMBMC+.若存在实数m使得ABACmAM成立，则m()A．2B．3C．4D．56．在△ABC中，sin(A－B)＋sinC＝32，BC＝3AC，则∠B＝()A．π3B．π6C．π6或π3D．π27．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(0，3)，且P在线段AB上，AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→的最大值为()A.3B．3C．22D．98．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．139.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．(12)，B．(2)，C．[3)，D．(3)，10．在R上定义运算：abcd＝ad－bc.若不等式x－1a－2a＋1x≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()．A．－12B．－32C．13D．3211．如右图，△ABC中，AD＝2BD，AE＝3EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A．(13，12)B．(14，13)C．(37，37)D．(25，920)12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9二、填空题（共4题，每题5分）13．已知向量a，b夹角为45°，且1a，102ba，则b=____________.14．若数列na的前n项和为3132nnaS，则数列na的通项公式是na=____________.15．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c0的解集为－13，12，则不等式－cx2＋2x－a0的解集为________．16．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝_______，y＝________.三、解答题17．已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，其中角B是直角，求k的值．18．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：1x＋1y是定值．19．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．20．设数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝2，Sn＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，bn＝Sn＋2.(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{cn}满足cn＝a1－12＋a2－122＋…＋an－12n(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn.21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2－c2ac＝cosA＋CsinAcosA.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围．22．数列{an}的通项，其前n项和为Sn。（1）求S1，S2，S3;（2）求Sn；（3）若数列319412nnnbnS错误!未找到引用源。，其前n项和为Tn，求证：2332nT.高一数学答案一、选择题（共12题，每题5分）1．等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于()A．±4B．4C．6D．－4解析：a25＝a3a7＝16，可知a5＝±4，又因为a5＝a3q20，所以a5＝4，故选B.答案：B2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则am，ak，an成等比数列，故选D.答案：D3．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝()A．－12B．12C．2D．－2解析：由题意知2(1,2)＋(－3,0)＝λ[(1,2)－m(－3,0)]，即(2,4)＋(－3,0)＝(λ，2λ)＋(3λm,0)，则有λ＝2,3λm＝－3，即6m＝－3，则m＝－12，所以选A.答案：A4．设等差数列na的前n项和为nS，若21mS，0mS，31mS，则m()A．3B．4C．5D．6答案：C5．已知ABC和点M满足0MAMBMC+.若存在实数m使得ABACmAM成立，则m(B)A．2B．3C．4D．56．在△ABC中，sin(A－B)＋sinC＝32，BC＝3AC，则∠B＝()A．π3B．π6C．π6或π3D．π2解析：∵sin(A－B)＋sinC＝32∴sin(A－B)＋sin(A＋B)＝2sinAcosB＝32①又∵a＝3b，∴ab＝sinAsinB＝3，∴sinA＝3sinB代入①得23sinBcosB＝32，∴sin2B＝32，∴2B＝120°或60°，∴B＝60°或30°当B＝60°代入①sinA＝32(舍)，故B＝30°，选B.答案：B7．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(0，3)，且P在线段AB上，AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→的最大值为()A.3B．3C．22D．9解析：设P(x，y)，x∈[0,3]，则(x－3，y)＝t(－3,3)，x－3＝－3t，y＝3t，即x＝3－3t，y＝3t，t∈[0,1]，所以OA→·OP→＝3x＝9(1－t)∈[0,9]，即OA→·OP→的最大值为9.答案：D8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．13解析：选C∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.9.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（B）A．(12)，B．(2)，C．[3)，D．(3)，10．在R上定义运算：abcd＝ad－bc.若不等式x－1a－2a＋1x≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()．A．－12B．－32C．13D．32解析原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝x－122－54≥－54，所以－54≥a2－a－2，－12≤a≤32.故选D.答案D11．如右图，△ABC中，AD＝2BD，AE＝3EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为(A)A．(13，12)B．(14，13)C．(37，37)D．(25，920)12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9解析由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.∴ab＝4，2b＝a－2或ab＝4，2a＝b－2解之得：a＝4，b＝1或a＝1，b＝4.∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.答案D二、填空题（共4题，每题5分）13．已知向量a，b夹角为45°，且1a，102ba，则b=____________.答案：3214．若数列na的前n项和为3132nnaS，则数列na的通项公式是na=____________.答案：错误!未找到引用源。15．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c0的解集为－13，12，则不等式－cx2＋2x－a0的解集为________．解析由ax2＋2x＋c0的解集为－13，12知a0，且－13，12为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a，－13×12＝ca，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a0，即2x2－2x－120，其解集为(－2,3)．答案(－2,3)16．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝__________，y＝__________.解析：解法一：结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影，又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE→|·sin60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin45°＝32.解法二：∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2.设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos45°＝(x－1)×12，∴x＝32＋1.同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边取数量积可得y＝32.答案：1＋3232三、解答题17．已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，其中角B是直角，求k的值．解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量BC与AC平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝12.(2)∵BC＝(2－k,3)，∴CB＝(k－2，－3)，∴AB＝AC＋CB＝(k,1)．当B是直角时，AB⊥BC，即AB·BC＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；综上得k的值为－1,3,18．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；(