湖南名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试-数学(理)试题

·1·湖南名师联盟2020届高三第一次模拟测试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}xAyyxR，{|lg(2)}Bxyx，则AB（）A．(0,2)B．(,2]C．(,2)D．(0,2]2．若复数z满足(i1)2iz（i为虚数单位），则z为（）A．1iB．1iC．1iD．1i3．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据，则下列叙述正确的是（）A．这12天的AQI的中位数是90·2·B．12天中超过7天空气质量为“优良”C．从3月4日到9日，空气质量越来越好D．这12天的AQI的平均值为1004．已知平面向量(2,3)a，(,4)xb，若()aab，则x（）A．1B．12C．2D．35．某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（）A．103B．35C．45D．7106．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥，n∥，则mn∥B．若m，n，则mn∥C．若m，mn，则n∥D．若m∥，mn，则n7．函数π()3sin(2)(||)2fxx的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则等于（）A．π6B．π6C．π3D．π38．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（）A．662πB．664πC．662πD．664π9．函数2()ln(1)fxxx的图象大致是（）·3·A．B．C．D．10．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为3，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．9π11．有如下命题：①函数sinyx与yx的图象恰有三个交点；②函数sinyx与yx的图象恰有一个交点；③函数sinyx与2yx的图象恰有两个交点；④函数sinyx与3yx的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．412．若函数2(1)()fxxxaxb（）的图象关于点(2,0)对称，1x，2x分别是fx的极大值点与极小值点，则21xx（）A．3B．23C．23D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC△中，若13AB，3BC，120C，则AC_____．14．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则ABAC_____．·4·15．在4(1)xx的展开式中，2x项的系数为________（结果用数值表示）．16．定义在正实数上的函数(){{}}fxxx，其中{}x表示不小于x的最小整数，如{0.2}1，{1.6}2，当(0,]xn，n*N时，函数()fx的值域为nA，记集合nA中元素的个数为na，则na________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，23AB，2AC，90ADCCAB，设DAC．（1）若60，求BD的长度；（2）若30ADB，求tan．18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．（1）求这4000名考生的平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布2(,)N，其中，2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差2s，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）·5·的人数估计有多少人？（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求(3)P．（精确到0.001）附：①2204.75s，204.7514.31；②2~(,)zN，则()0.6826Pz，(22)0.9544Pz；③40.84130.501．19．（12分）如图，三棱柱111ABCABC中，111160BAACAA，14AAAC，2AB，P，Q分别为棱1AA，AC的中点．（1）在BC上确定点M，使AM∥平面1PQB，并说明理由；（2）若侧面11ACCA侧面11ABBA，求直线11CA与平面1PQB所成角的正弦值．20．（12分）已知两直线方程12:2lyx与22:2lyx，点A在1l上运动，点B在2l上运动，且线段AB的长为定值22．（1）求线段AB的中点C的轨迹方程；（2）设直线:lykxm与点C的轨迹相交于M，N两点，O为坐标原点，若54OMONkk，求原点O到直线l的距离的取值范围．·6·21．（12分）已知函数2(1)211()()22xfxexefx．（1）求()fx的单调区间；（2）若存在1x，212()xxx，使得12()()1fxfx，求证：122xx．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为32cos22sinxy（为参数），直线2C的方程为33yx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）若直线2C与曲线1C交于P，Q两点，求||||OPOQ的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|||22|(0)fxxmxmm．（1）当1m时，求不等式()1fx的解集；（2）若xR，tR，使得()|1||1|fxtt，求实数m的取值范围．·7·湖南名师联盟2020届高三第一次模拟测试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵{|2,}{|0}xAyyxyyR，{|lg(2)}{|20}{|2}(,2)Bxyxxxxx，∴{|02}(0,2)ABxx．2．【答案】A【解析】(i1)2iz（i为虚数单位），∴(1i)(1i)2(1i)zi，∴22(i1)z，解得1iz，则1iz．3．【答案】C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是9510499.52，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值约为110，故D不正确．4．【答案】B【解析】(2,1)xab，∵()aab，∴()2(2)30xaab，解得12x．5．【答案】D【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C种，·8·结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为225325C103CC71010P．6．【答案】B【解析】A．若m∥，n∥，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m，n，由线面垂直的性质定理可知mn∥，故B正确；C．若m，mn，则n∥或na，故C错；D．若m∥，mn，则n∥或n或n，故D错．7．【答案】D【解析】函数π()3sin(2)(||)2fxx的图象向左平移π6个单位后，得到ππ()3sin(2)(||)32gxx的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故π(0)3sin()03g，∴ππ()3kkZ，由π||2，得π3．8．【答案】B【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为3，3，4，圆柱的底面半径为1r，圆柱的高为5，据此可得，组合体的表面积2(333434)2π12664πS．9．【答案】B【解析】代0x，知函数过原点，故排除D，代入1x，得0y，排除C，代入0.0000000001x，0y，排除A．10．【答案】B【解析】根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱BDAD、DCDA，底面是等腰BDC△，·9·它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点D的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC△，1BDCD，3BC，∴120BDC，∴BDC△的外接圆的半径为1312sin120，由题意可得：球心到底面的距离为32，∴球的半径为37142r，外接球的表面积为24π7πr．11．【答案】C【解析】①设()sinfxxx，则()cos10fxx，即函数()fx为减函数，∵(0)0f，函数()fx是奇函数，∴函数()fx只有一个零点，即函数sinyx与yx的图象恰有一个交点，故①错误，②由①知当0x时，sinxx；当01x时，sinxxx；当1x时，sinxx；当0x时，sinxx，故函数sinyx与yx的图象恰有一个交点，故②正确，③作出函数sinyx与2yx的图象，由图象知两个函数有2个交点，即函数sinyx与2yx的图象恰有两个交点，故③正确，④作出函数sinyx与3yx的图象，由图象知两个函数有3个交点，即函数sinyx与·10·3yx的图象恰有三个交点，故④正确．12．【答案】C【解析】由题意可得(2)3(42)0fab，函数图象关于点(2,0)对称，且10f，故(5)0f，即(5)6(255)0fab，据此可得2405250baba，解得107ba，故函数的解析式为232()(1)(710)6310fxxxxxxx，22'()3123()341fxxxxx，结合题意可知：1x，2x是方程0142xx的两个实数根，且12xx，故2221212121||()444123xxxxxxxx．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1【解析】由余弦定理得21393ACAC，解得1AC或4AC（舍去）．14．【答案】2【解析】过点C作CDAB于D，则D为AB的中点，∴21()||22ABACABADDCABADAB．·11·15．【答案】19【解析】由于220()xxx，22()xxx，204()xxx，据此结合排列组合的性质可得2x项的系数为2021210442243144CCCCCCCC612119．16．【答案】(1)2nn【解析】易知：当1n时，因为(0,1]x，所以{1}x，所以}}1{{xx，所以1{1}A，11a．当2n时，当(1,2]x，则{2}x，所以{{}}(2,4]xx，所以2{1,3,4}A，23a．当3n时，当(2,3]x，