2017届高三数学理一轮总复习课时跟踪检测：41空间几何体的表面积与体积(江苏专用).doc

课时跟踪检测（四十一）空间几何体的表面积与体积一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．解析：设球的半径为R，则表面积是16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为43πR3＝32π3.答案：32π32．若一个圆台的母线长l，上、下底面半径r1，r2满足2l＝r1＋r2，且侧面积为8π，则母线长l＝________.解析：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.答案：23．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为________．解析：依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π.答案：15π4．棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为________．解析：由题意知球的直径2R＝a，∴R＝a2.∴S＝4πR2＝4π×a24＝πa2.答案：πa25．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为3，D为CC1上一点，且CD＝2DC1，则三棱锥A1­BCD的体积________．解析：过A1作A1H⊥B1C1，垂足为H.因为平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，所以A1H⊥平面BB1C1C，所以VA1­BCD＝13×32×3×12×2×3＝332.答案：332二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.答案：72．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆面的面积为12πl2＝2π，所以l2＝4，解得l＝2，即圆锥的母线为l＝2，底面圆的周长2πr＝πl＝2π，所以圆锥的底面半径r＝1，所以圆锥的高h＝l2－r2＝3，所以圆锥的体积为13πr2h＝13×π×3＝3π3.答案：3π33．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为________．解析：设正六棱柱的高为h，则可得(6)2＋h24＝32，解得h＝23.答案：234．已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其体积V＝34×22×6×6＝363cm3.答案：3635．(2016·南通调研)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.解析：作出轴截面图，其中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为2，所以S表＝4×1×2＋2×12＝2＋42(cm2)．答案：2＋426．已知正三棱锥S­ABC，D，E分别是底面边AB，AC的中点，则四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的体积之比为________．解析：设正三棱锥S­ABC底面△ABC面积为4S.由S△ADES△ABC＝122，所以，S△ADE＝S，S四边形BCDE＝3S，因两个棱锥的高相同，所以VS­BCED∶VS­ABC＝3∶4.答案：3∶47．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O­ABCD的体积为________．解析：如图，连结AC，BD交于H，连结OH.在矩形ABCD中，由AB＝6，BC＝23可得BD＝43，所以BH＝23，在Rt△OBH中，由OB＝4，所以OH＝2，所以四棱锥O­ABCD的体积V＝13×6×23×2＝83.答案：838．(2016·盐城调研)在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝2，则平面BCD被球所截得图形的面积为________．解析：过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是△BCD的外心，而外接球球心O位于直线AM上，连结BM，设△BCD所在截面圆半径为r，∵OA＝OB＝2＝AB，∴∠BAO＝60°，在Rt△ABM中，r＝2sin60°＝3，∴所求面积S＝πr2＝3π.答案：3π9．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝3r，PC＝3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝13π×AC2×PC＝13π(3r)2×3r＝3πr3.V球＝43πr3.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水＝13π×EH2×PH＝13π(PHtan30°)2PH＝19πx3.又V水＝V圆锥－V球，则19πx3＝3πr3－43πr3，解得x＝315r.故球取出后，容器内水深为315r.10.(2016·安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积．解：法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为12，直三棱柱柱高为1，AG＝12－122＝32，取AD中点M，则MG＝22，∴S△AGD＝12×1×22＝24，∴V＝24×1＋2×13×24×12＝23.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P­AED和三棱锥P­BCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥P­ABCD为棱长为1的正四棱锥．∴V＝13×12×22＋2×13×34×63＝23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′­BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________．解析：由图示可得BD＝A′C＝2，BC＝3，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该外接球的表面积S＝4π×322＝3π.答案：3π2．(2015·南京二模)一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧面的斜高PM＝5cm，高PO＝PM2－OM2＝52－32＝4cm，所以所求容积为V＝13×62×4＝48(cm3)．答案：483.如图，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥D­ABC的体积的最大值．解：由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．设d为AD到BC的距离．则VD­ABC＝AD·BC×d×12×13＝2d，当d最大时，VD­ABC体积最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值42－1＝15.此时V＝215.