高考数学导数压轴题

1(本小题满分14分)已知函数32()3fxaxbxx在1x处取得极值。（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[1,1]上任意两个自变量的值12,xx，都有4|)()(|21xfxf；（Ⅲ）若过点(1,)Am可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围。【解析】（Ⅰ）323)('2bxaxxf，依题意，0)1(')1('ff，…………1分即03230323baba，解得xxxfba3)(,0,13…………………3分经检验符合。（Ⅱ）)1)(1(333)(',3)(33xxxxfxxxf当11x时，0)('xf，故()fx在区间[1,1]上为减函数，2)1()(,2)1()(minmaxfxffxf……………………5分∵对于区间[1,1]上任意两个自变量的值12,xx，都有|)()(||)()(|minmax21xfxfxfxf4|)2(2||)()(||)()(|minmax21xfxfxfxf…………………………7分（Ⅲ）)1)(1(333)('2xxxxf，∵曲线方程为33yxx，∴点(1,)Am不在曲线上，设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足03003xxy。因)1(3)('200xxf，故切线的斜率为13)1(3003020xmxxx，整理得03322030mxx。∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线∴关于0x的方程03322030mxx有三个实根.……………………9分设332)(20300mxxxg，则2000()6gxgxx，2.已知函数xaxxfln)(,xaxxfxgln6)()(，其中aR.（Ⅰ）讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）若)(xg在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数4)(2mxxxh,当2a时，若)1,0(1x，]2,1[2x，总有)()(21xhxg成立，求实数m的取值范围．21、【解题指导】（1）第1问，一般利用导数来求函数的单调性，注意分类讨论；（2）第2问，一般转化为一个恒成立问题解决，最好利用分离参数法解答；（3）第3问实际上就是最值问题，等价于“)(xg在)1,0(上的最大值不小于)(xh在]2,1[上的最大值”，所以先分别求出两个函数的最大值即可。【解析】（Ⅰ）)(xf的定义域为),0(，且2)('xaxxf，--------1分①当0a时，0)('xf，)(xf在),0(上单调递增；----2分②当0a时，由0)('xf，得ax；由0)('xf，得ax；故)(xf在),0(a上单调递减，在),(a上单调递增.----4分（Ⅱ）xxaaxxgln5)(，)(xg的定义域为),0(22255)('xaxaxxxaaxg-----5分因为)(xg在其定义域内为增函数，所以),0(x，0)('xgmax222215155)1(05xxaxxaxxaaxax而2515152xxxx，当且仅当1x时取等号，所以25a---8分（Ⅲ）当2a时，xxxxgln522)(，22252)('xxxxg由0)('xg得21x或2x当)21,0(x时，0)('xg；当)1,21(x时，0)('xg.所以在)1,0(上，2ln53)21()(maxgxg----10分而“)1,0(1x，]2,1[2x，总有)()(21xhxg成立”等价于“)(xg在)1,0(上的最大值不小于)(xh在]2,1[上的最大值”而)(xh在]2,1[上的最大值为)}2(),1(max{hh所以有)2()21()1()21(hghg-------------------------12分mm282ln5352ln53)2ln511(212ln58mm2ln58m所以实数m的取值范围是),2ln58[----------------------------------13分3.已知函数()ln(1)(1)1fxxkx，（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ln2ln3ln4ln(1)34514nnnn（*nN且1n）解析:该题通过求函数()fx的单调区间考查用导数研究函数的单调性、对数函数性质、导数的运用、分类讨论;通过研究不等式()0fx恒成立考查单调性在不等式方面的应用;（3）考查学生利用已知结论转化问题的能力以及增加利用导数研究不等式的意识;该题属于较难题.解:（1）'1(),(1)1fxkxx,所以,0k当时,'()0;fx0k当时,由'()0fx得:11,xk所以,0k当时()1,fx在上为增函数；0k当时1()1,1fxk在上为增函数；在11,k上为减函数；[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]（2）因为()0fx恒成立,所以,1,ln(1)(1)10,xxkx1,ln(1)(1)1,xxkx所以,k0,4.重庆市西南大学附属中学2012届高三第二次月考数学试题解析【解析】解：(1)设2()gxaxbxc∴22(1)(1)2(1)2(1)2gxgxaxcx∴112ac，，又∵(1)1g，则12b∴211()122gxxx····································································5分(2)∵对(1)()[1]'()0xxmxmHxx，，∴()Hx在[1，m]内单调递减于是21211|()()|(1)()ln22HxHxHHmmmm2121113|()()|1ln1ln02222HxHxmmmmmm················8分记13()ln(1)22hmmmmem，则221133111'()()022233hmmmm∴函数13()ln22hmmmm在(1]e，是单调增函数∴3(3)(1)()()10222eeehmheee∴命题成立·················································································12分5.浙江省温州中学2012届高三10月月考数学（理）试题解析22.（15分）设函数()ln1fxxpx=-+（Ⅰ）讨论函数()fx的极值点；（Ⅱ）若对任意的0x，恒有0)(xf，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：2222ln2ln3ln21(,2).234(1)nnnnNnnn解：（1）()ln1,()(0,)fxxpxfx的定义域为，11()pxfxpxx，0x当0p时，'0fxfx在0,上单调递增，fx无极值点；当0p时，令1()0(0,),()()fxxfxfxxp，、随的变化情况如下表：x(0，1p)1p1(,)p+?'()fx+0－()fx↗极大值↘111111(1)()23341nnn21121(1)()212(1)nnnnn∴结论成立．