弹性力学答案清晰修改

2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证qyx及0xy能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。证明：（1）将应力分量qyx，0xy和0yxff分别代入平衡微分方程、相容方程00yxxyyyxyyxxxff（a）0)1())((2222）（yfxfyxyxyx（b）显然（a）、（b）是满足的（2）对于微小的三角板dydxA,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(xnl,),cos(ynm,将qyx，0xy代入平面问题的应力边界条件的表达式)()()()(sflmsfmlysxyyxsyxx（c）则有),cos(),cos(xnqxnx),cos(),cos(ynqyny所以qx，qy。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力的情况，首先，将应力分量qyx及0xy代入物理方程，得形变分量qEx)1(，qEy)1(，0xy（d）然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得qExu)1(，qEyv)1(，0yuxv（e）前而式的积分得到)()1(1yfqxEu，)()1(2xfqyEv（f）其中的1f和2f分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入（e）的第三式得dxxdfdyydf)()(21等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有dyydf)(1，dxxdf)(2，积分以后得01)(uyyf，02)(vxxf代入（f）得位移分量vxqyEvuyqxEu)1()1(0其中,,00vu为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x和切应力xy的表达式，并取挤压应力0y，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为FxxM)(，横截面对z轴（中性轴)的惯性矩为123hIz，根据材料力学公式，弯应力xyhFIyxMzx312)(；该截面上的剪力为FxFs)(，剪应力22223()346()()24sxyFxyFhIyhhh；并取挤压应力0y（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程00yxxyyyxyyxxxff也能满足相容方程0)1())((2222）（yfxfyxyxyx再考察边界条件：在2/hy的主要边界上，应精确满足应力边界条件：0)(2/hyy，0)(2/hyyx；0)(2/hyy，0)(2/hyyx。能满足在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：/20/2/20/2/20/2()0()0()hxxhhxxhhxyxhdyydydyF满足应力边界条件。在次要边界lx上，列出三个积分的应力边界条件：FyhhFdyFllyhFydylydyhFdyhhxxyhhhhlxxhhhhlxxhh)4(6)(12)(012)(2232/2/02/2/232/2/2/2/32/2/2/2/满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。3-6如题3-6图所示的墙，高度为h，宽度为b，h»b，在两侧面上受到均布剪力q的作用。试用应力函数yBxAxy2求解应力分量。解（1）相容条件：将应力函数代人相容方程04中，其中044x，044y，0224yx很明显满足相容方程。（2）应力分量表达式022yx，Bxyxy622，223BxAyxxy（3）考察边界条件：在主要边界2/bx上，各有两个应精确满足的边界条件，即0)(2/bxx，qbxxy2/)(。在次要边界0y上，0)(0yy，而0)(0yyx的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替0)(02/2/dxyyxbb（4）把各应力分量代入边界条件，得2qA，22bqB。应力分量为0x，xybqy212，)121(222bxqxy3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。解（1）相容条件：设3223DyCxyyBxAx(a)不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。（2）体力分量gfofyx,由应力函数得应力分量的表达式DyCxxfyxx6222(b)gyByAxyfyyy2622(c)CyBxyxxy222(d)（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上0y的边界条件：0)(0yy，0)(0yyx将应力分量式(b)和式（c）代入，这些边界条件要求06)(0Axyy，02)(0Bxyxy得A=0，B=0。式(b)、（c）、（d）成为DyCxx62（e）gyy（f）Cyxy2（g）根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是tanxy,在斜面上没有任何面力，即0yxff,按照一般的应力边界条件，有0)()(0)()(tantantantanxyxyxyyxyxyxyxlmml将(e)、（f）、（g）代入得0)tan2()tan62(CxmDxCxl（h）0)tan2()tan(Cxlgxm（i）由图可见，sin)2cos(),cos(xnl，cos),cos(ynm代入式（h）、(i)求解C和D,即得cot2gC，2cot3gD将这些系数代入式(b)、（c）、（d）得应力分量的表达式2cot2cotcotxyxygxgygygy4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。解（1）应力函数)2sin2cos(2DCBA，进行求解由应力函数得应力分量CBADCBADCBA2cos22sin2)1()2sin2cos(2)2sin2cos(21122222（2）考察边界条件：根据对称性，得0)(2/（a）q2/)(（b）0)(2/（c）q2/)(（d）由式（a）得2cos2sin20ABCD（e）由式（b）得2sin2cosABCq（f）由式（c）得2cos2sin20ABCD（g）由式（d）得2sin2cosABCq（h）式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得cot2,0,sin2qDCBqA将以上系数代入应力分量，得sin2sin)cotsin2cos()cotsin2cos(qqq4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求0)(r，0)(Rqr)(，0)(R由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求02222CRAqCrA由上式解得)(2222rRrqRA，)(2222rRqrC(a)把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，sincos)1()1()(2222KIRrREqru（b）0cossinKIHu(c)式（c）中的,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。所以，轴对称问题的径向位移式（b）为2222)1()1()(RrREqru，而圆简是属于平面应变问题，故上式中uEE1,12代替，则有)1(1)11()11(22222rRERqu此时内径改变为)1()1()1(1)11()11(2222222222rRrREqrrRErrRqur，外径改变为222222222)1()1(1)11()11(rRRrEqrrRERRRquR圆环厚度的改变为)1()1(2rRrREqruurR4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为0yx，qxy，如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。解求出两个主应力，即qxyyxyx2221)2(2原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。应力分量qx，qy，0xy代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件2cos)(qR（a）2sin)(qR(b)在孔边，边界条件是0)(r（c）0)(r（d）由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设为的某一函数乘以2cos，而为的另一函数乘以2sin。而22211，)1(因此可假设2cos)(f。（e）将式（e）带入相容方程0)11(222222，得0)(9)(9)(2)(cos32223344ddfdfddfddfd删去因子2cos以后，求解这个常微分方程，得234DCBAf，其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e），得应力函数)(2cos224DCBA由应力函数得应力分量的表达式)6226(2sin)6212(2cos)642(2cos4234242DCBADBADCB将上式代入应力边界条件由式（a）得qRDRCB42642（g）由式（b）得qRDRCBAR4226226（h）由式（c）得064242rDrCB（i）由式（d）得06226422rDrCBAr（j）联立求解式)()(jg，并令0Rr,得2,,2,042qrDqrCqBA将各系数值代入应力分量的去达式，得)31)(1(2sin)31(2cos)31)(1(2cos2222222222rrqrqrrq沿着孔边r，环向正应力是2cos4q最大环向正应力为q4)(ma