第三章-数学基础—齐次坐标和齐次变换New2

第三章数学基础—齐次坐标和齐次变换知识点：点的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。3.1引言inoa∎人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学建模问题（建模）∎机器人的运动学正逆关系问题即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系（求解）机器人运动学问题运动学正逆求解问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!运动学正问题运动学逆问题3.2位置和姿态的描述一、位置描述对于直角坐标系{A}，空间内任一点P的位置可有3×1的列向量（或位置向量）PArTzyxPApppr二、方位（姿态）描述为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固接。则用{B}的三个单位主矢量相对坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵来表示刚体B相对于{A}的方位，称为方位阵（姿态阵，或旋转阵）BBBzyx,,RABRABBABABABABABABABABABABABAABRzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyx中有9个元素，而只有3个是独立的，因为的3个列向量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9个元素满足6个约束条件（称正交条件）：RABRABBBBzyx,,01BABABABABABABABABABABABAxzzyyxzzyyxx以及3个方向条件：BABABABABABABABABAyxzxzyzyx,,且有1,T1RRRABABAB三、位姿描述刚体位姿（即位置和姿态），用刚体的方位矩阵和刚体坐标系的原点位置矢量来表示，即BOAABBrR3.3点的齐次坐标kcjbiavzyxTwwzyxV式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数wxwywz显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵[例]：kjiV543可以表示为：V=[3451]T或V=[68102]T或V=[-12-16-20-4]T齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。xyzzzxV图2-2o几个特定意义的齐次坐标：[0,0,0,n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴2个常用的公式：zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()(3.4坐标变换3.4.1坐标平移设坐标系{B}与{A}具有相同的方位，但{B}的坐标原点与{A}的不重合，用位置矢量描述{B}的原点相对于{A}的位置，把称为{B}相对于{A}的平移矢量，如果点P在{B}中的位置为，则它相对{A}的位置矢量可由矢量相加得到：BOArBOArPBrPArBOAPBPArrr3.4.2坐标旋转设坐标系{B}与{A}具有共同的坐标原点，但二者方位不同，用旋转矩阵描述{B}的相对于{A}的方位，如果点P在{B}中的位置为，则它相对{A}的位置矢量则有：PBrPArRABPBABPARrr3.4.3复合变换一般情况下，坐标系{B}与{A}原点既不重合，方位也不相同，现用位置矢量描述{B}的原点相对于{A}的位置，用旋转矩阵描述{B}的相对于{A}的方位，如果点P在{B}中的位置为，则它相对{A}的位置矢量则有：BOArRABPBrPArBOAPBABPARrrr3.5齐次坐标变换3.5.1齐次变换BOAPBABPARrrr写成齐次形式110001PBBOAABPARrrrTABPBABPATrr理解：1）是{A}和{B}两个坐标系下点或方位齐次坐标的线性映射，一旦这两个坐标系之间的位姿关系确定，它也就确定了。2）是{B}坐标系相对{A}坐标系的位姿矩阵。TAB3.5.2平移齐次坐标变换1000100010001c)b(aTransHcba注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换zyxoo′w′u′v′abc3.5.3旋转齐次坐标变换三个基本旋转矩阵即动坐标系求旋转矩阵，也就是求出坐标系ΣO´uvw中各轴单位矢量在固定坐标系ΣOxyz中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：100010001RΣO´uvw绕OX轴转动角,),(xR),(xRwvukji,,由图2-5可知，在y轴上的投影为，在z轴上的投影为,在y轴上的投影为，在z轴上的投影为，所以有：vjcosyjsinzksinyjwkcoszkvjwkxyzouvwU'V'W'O'图2-5方向余弦阵wzvzuzwyvyuywxvxuxxkkjkikkjjjijkijiiiR),(cossin0sincos0001uxii同理：cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R（comsin0sincos0001)R(x,三个基本旋转矩阵:xyzouvwU'W'O'xyzouvwU'W'O'v'旋转齐次坐标变换1),(),(00uuRotR3.5.4物体的位姿描述1000BOAABABRTr一般情况下，物体{B}在参考系{A}中的位姿可表示为：3.5.5齐次变换矩阵的相乘对于给定的坐标系{B}、{A}和{C}，现用齐次变换矩阵来表示{B}相对于{A}的位姿描述，用齐次变换矩阵来表示{C}相对于{B}的位姿描述，则空间任一点P在三个坐标系中的齐次坐标有：TABTBC11PCBCPBTrr111PCBCABPBABPATTTrrr11PCACPATrrTTTBCABAC这样变换矩阵也可解释为是坐标系的变换：和分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述，则表示坐标系{C}从映射为的变换。变换矩阵还可解释为：坐标系{C}相对{A}的描述是这样得到的，最初{C}与{A}重合，首先相对于{A}作运动，到达{B}，然后相对{B}作运动，到达最终位置{C}。TTTBCABACTTTBCABACTACTBCTABTBCTACTABTBC3.5.6齐次坐标的逆变换已知{B}相对于{A}的变换:求{A}相对于{B}的变换：TABTBA1000AOBBABARTrBOAABAOBAOBABBOAAOARRrr0rrrT1000TTBOAABABBARRTrrAOBrBOArAOAABrPBrBOArPAABPBOAPBABPARrrrOxyzOxyzOuvwTuvwPo1321'例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求该点在固定参考坐标系下的位置。解1：用画图的简单方法3.5.7绝对变换和相对变换1.绝对变换解2：用分步计算的方法①Rot（x,90°）②Rot（z,90°）③Rot（y,90°）123113211000001001-000001'P12131231100001000001001-0''P1312121310000001-00100100'''P（3-1）（3-2）（3-3）上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（3-1）（3-2）（3-3）联写为如下形式：Rot为二者之间的关系矩阵，我们令：小结：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换uvwO'Oxyz11wvuzyxpppRotppp)90,()90,()90,(oooxRotzRotyRotRot例2：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①Rot(Z,90º)②Rot（y,90º）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：o′zyx74-3ow```u```v```v″u″w″zyxoo(o′)xyzuvwzyxu′w′o(o′)v′2.相对变换解2：用计算的方法我们有：1000701030014100),90()90,(7)3,(4,zRotyRotTransT以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例3：①先平移Trans(4,-3,7)；②绕当前轴转动90º；③绕当前轴转动90º；求合成旋转矩阵。vw（3-4）解1：用画图的方法zyxo(o′)vwuzyxoo′w′u′v′ozyxo′w″v″u″xyzoo′w```u```v```解2：用计算的方法1000701030014100,,)Rot(w,90)90Rot(v,7)3Trans(4Too（3-5）式（3-4）和式（3-5）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。wvuxyzabcOBTOBTOBHVl1l2l3xuyzvwOB