第3章-角动量守恒定律

LOGO普通高等教育“十一五”国家级规划教材大学物理（第二版）袁玉珍武步宇陈钦生主编第3章角动量守恒定律课件制作者：陈钦生******.com3.2质点的角动量守恒定律3.3刚体的角动量守恒定律3.4刚体的角动量转动定律惯性定律3.1质点的角动量力矩3.5刚体的角动量守恒定律主要内容第3章角动量守恒定律******.com第3章角动量守恒定律基本要求1、正确理解角动量的概念，理解角动量定理。2、正确理解转动惯量的概念，会计算几种规则形状物体的转动惯量。3、掌握刚体绕定轴的转动定律，并能熟练应用它来求解定轴转动刚体和质点的联动问题。4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、计算有关问题。******.com3.1质点的角动量力矩3.1.1质点的角动量一个质量为m的质点以速度v运动，其动量为p，若其相对于定点O的位置矢量为r，则其角动量定义为：角动量是矢量，其大小为：式中为r与p的夹角；角动量的方向：垂直于r和p所组成的平面，其指向由右手螺旋法则确定prLsinvmrLLprmO******.com3.1质点的角动量力矩3.1.1质点的角动量质点的角动量与质点的位矢有关。质点相对于O点做圆周运动时，位矢r与p处处垂直，，故角动量大小可写为：角动量方向：垂直于圆周轨道平面角动量单位：kg.m2.s-1；量纲：ML2T-12mrvmrL1sinvmOrL******.com3.1质点的角动量力矩3.1.2质点的角动量定理质点m对定点O的角动量对时间求导，得：prL)(prLdtddtddtddtdprprFrvvmFr******.com3.1质点的角动量力矩3.1.2质点的角动量定理力矩定义：力矩大小：式中为力臂，则因，即合力切向分量，所以：FrMθFrMsindθrsindFMFrMFθFsin******.com3.2质点的角动量守恒定律dtdLM由上式：当0M时0LL质点的角动量守恒定律：质点在运动过程中，所受的合外力矩等于零时，质点对给定点（转轴）的角动量保持不变。或L常矢量******.com力矩等于零，有三种情况：000)3(00)2(00)1(FrM,F,rM,FM,r3.2质点的角动量守恒定律这三种情况分别为：(1)质点处在定点上静止不动；(2)质点孤立，不受力的作用；(3)质点受“有心力”作用******.com例3-1自看例3-2利用角动量守恒定律导出开普勒行星运动第二定律；行星对太阳的位矢在单位时间内扫过的面积为常量。解：行星绕太阳运动过程中，受太阳吸引力的作用，是有心力，力矩为零，角动量守恒。行星相对于太阳任意时刻的角动量3.2质点的角动量守恒定律******.comsinrmvL=恒量mvrL其大小为设Δt时间内，位矢扫过的面积为sin21rrs单位时间内，位矢扫过的面积为sin21sinlim21lim00rmvmtrrtsdtdsttmL2=恒量太阳行星mrrL3.2质点的角动量守恒定律v=恒矢量******.com3.3刚体的运动3.3.1刚体刚体——是受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。特点(1)是一个质点组（刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元）(2)质点组内任意两点间的距离保持不变.******.com3.3刚体的运动3.3.2平动和转动平动——刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的运动。******.com转动刚体运动时，其上各质元都绕同一直线作圆周运动，这种运动称转动。该直线称为转轴。若转轴不动，称定轴转动。3.3刚体的运动OO’(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.(2)刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动.1.定轴转动特征******.comxOp称角位置或角坐标。规定逆时针转向为正。2.定轴转动的描述(1)角坐标刚体定轴转动的运动学方程(2)角位移为t时间内刚体所转过的角度。=(t)xOp3.3刚体的运动******.com(3)角速度tttddΔΔlim0Δ在定轴转动中，转向只可能有两个方向。取逆时针转动0，顺时针转动0。rad/s30π60π2nn每分转n转角速度xOP(t)P(t+t)+(4)角加速度tttddΔΔlim0Δ角加速度3.3刚体的运动******.com2021tt匀变速转动=常量）（02022t0与质点匀变速直线运动公式相对应。ttd)(dttd)(dttt00d)(ttt00d)((5)刚体定轴转动运动方程匀速转动=常量t03.3刚体的运动******.com(6)角量与线量的关系线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a角量——描述刚体转动整体运动的rsrrva22nratrv注:r的原点必须在转轴上.弧长线速度切向加速度法向加速度，，rsOtexy3.3刚体的运动******.comAmiiviro一、刚体定轴转动的角动量第i个质点miiiiivmrL大小：2)(90siniiiiiiirmrmrvrmLiL由于所有质点的角动量的方向相同，所以刚体的角动量为2iiiiirmLL令2iiirmJ又因为L和的方向相同JLL相对于给定轴的角动量为J称为转动惯量3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com二、刚体的转动定律JM刚体的转动定律：刚体转动过程中，刚体的角加速度与作用在刚体上的合外力矩成正比与转动惯量成反比。由刚体定轴转动的角动量定理dtdLMJL可得dtdJMJ为刚体的角加速度记注：与牛顿第二定律地位相当3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com三、转动惯量J1、质点刚体：2mrJ3、质量连续分布的刚体：VdmrJ2J的单位：kgm2量纲:ML22、离散刚体：niiirmJ123.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com[例3-4]一质量为m，长为l的细棒，求其对于(1)通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量；(2)通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。解：xdx(1)在距o点为x处取线元dx,其质量为dm,dxxdmxdJ22dxlmx2dxlmdxdm两边积分得220031mldxxlmJdJlJolmdm绕给定轴的转动惯量为3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com[例3-4]一质量为m，长为l的细棒，求其对于(1)通过棒的一端并与棒垂直轴的转动惯量；(2)通过棒的中点并与棒垂直轴的转动惯量。解：3.4刚体的角动量转动定律转动惯量(2)分析求解同(1)dxxlmJdJllJ22202121mlo'xdxdxlmdxdmlm******.com四、平行轴定理设o'轴是通过刚体质心的转轴，刚体绕o'轴的转动惯量为2121mlJcoo'hml可以证明：绕任意平行于o'轴的转动惯量为2mhJJc平行轴定理例如3-4题中2121mlJc222231)2(121mllmmlmhJJc3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com五、影响转动惯量的因素1、质量的分布2、刚体的形状P45表3-13、转轴的位置[例3-5]分别求质量为m半径为R的细圆环和均匀圆盘绕通过各自中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。Rdm解：(1)在圆环上取质量元dmdm绕给定轴的转动惯量为dJ=R2dm积分得222mRdmRdmRJOdmrJ23.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com解：(2)在距o点为r处取宽度为dr的圆环，圆环的质量为dm,rdrordrdm22RmdmrdJ2积分得24020221212mRRrdrrdmrJRRdm绕给定轴的转动惯量为[例3-5]分别求质量为m半径为R的细圆环和均匀圆盘绕通过各自中心并与圆盘面垂直的轴的转动惯量。3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.comR六、转动定律的应用[例题]一个质量为M、半径为R的定滑轮（均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮上，另一端系一质量为m的物体。忽略轴处摩擦，求物体m下滑的加速度a和滑轮转动的角加速度β。.MRm解：MgNTmgT'a3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com解以上三式得2/Mmmga)/Mm(RmgRa2根据转动定律TR=Jβ221MR根据牛顿第二定律mg-T=ma因绳与滑轮间无滑动，所以a=Rβ3.4刚体的角动量转动定律转动惯量******.com由刚体角动量定理的微分式dtdLM当0M时：L恒矢量即：J恒矢量讨论：1、当J=恒量时，ω=恒量，刚体作匀速转动。2、当J变化时，J增大，ω减小。J减小，ω增大。例：跳水，体操等。3.5刚体的角动量守恒定律******.com[例题]如图所示，一质量为m的子弹以水平速度v0射入可以绕水平转轴在竖直平面内自由转动的一静止长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l，质量为M。解:取子弹、木棒为系统。作用前后系统所受的合力矩为零，所以系统的角动量守恒。即L=恒矢量3.5刚体的角动量守恒定律******.comvv0mM2003141MlmlvmlvMlmv490lLL0202023141Mllvmllvml3.5刚体的角动量守恒定律大小=恒量LOGO*******.com