2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

第1页共18页2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合M满足1,2M1,2,3,4，则集合M的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】利用列举法，求得集合M的所有可能，由此确定正确选项.【详解】由于集合M满足1,2M1,2,3,4，所以集合M的可能取值为1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能.故选：B【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.2．若43iz，则zz（）A．1B．1C．4355iD．4355i【答案】D【解析】【详解】由题意可得：22435z，且：43zi，据此有：4343555ziiz.本题选择D选项.3．已知向量1,sin,sin,12ab，若ab，则锐角为（）A．30°B．60C．45D．75【答案】C【解析】∵1,sin,sin,12ab，b∥a，第2页共18页∴21sin2，又为锐角，∴2sin,452．选C．4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105CpC.本题选择C选项.【考点】古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.5．设0.50.5a，0.50.3b，0.3log0.2c，则a，b，c的大小关系是()A．cbaB．abcC．bacD．acb【答案】C【解析】利用幂函数的性质比较a与b的大小，利用指数函数的性质比较a与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．【详解】因为y＝x0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b．c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5．所以b＜a＜c．故选C．【点睛】本题考查了不等关系，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．6．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定第3页共18页四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A．小钱B．小李C．小孙D．小赵【答案】A【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.7．已知函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（52）＝（）A．12B．14C．14D．12【答案】A【解析】根据周期性和奇偶性，即可求解.【详解】由f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝﹣f（x），得51111()()()22222252fff.故选:A【点睛】本题考查函数的性质应用，属于基础题.8．已知平面，直线,mn满足,mn，则“//mn”是“//m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由,mn，//mn，则由线面平行的判定定理得//m由//m不能得出m与内任意直线平行，则//m不能得出//mn即“//mn”是“//m”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，涉及了线面平行的判定定理和性质的应用，属于基础题.第4页共18页9．曲线2lnyxx在1x处的切线的倾斜角为，则cos(2)2的值为（）A．45B．45C．35D．35-【答案】D【解析】根据已知条件，求出切线斜率tan3，再根据同角三角函数的基本关系可求出sin，cos，从而根据二倍角公式和诱导公式求得结果.【详解】根据已知条件，212()fxxx，因为曲线2lnyxx在1x处的切线的倾斜角为，所以tan(1)123f，02.因为22sincos1a，sintan3cos，则解得3sin10，1cos10，故3cos(2)sin22sincos25.故本题正确答案为D.【点睛】本题主要考查导数的概念及其几何意义，考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，熟记公式和概念是关键，属基础题.10．已知抛物线22(0)ypxp交双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线于A，B两点（异于坐标原点O），若双曲线的离心率为5，AOB的面积为32，则抛物线的焦点为（）A．(2,0)B．(4,0)C．(6,0)D．(8,0)【答案】B【解析】由题意可得2ba，设点A位于第一象限，且,Amn，结合图形的对称性列出方程组确定p的值即可确定焦点坐标.【详解】2222222215cabbeaaa，∴2ba，设点A位于第一象限，且,Amn，结合图形的对称性可得：第5页共18页22322nmmnnpm，解得：8p，∴抛物线的焦点为4,0，故选B.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数sin3cos0xfxx，若124fxfx，且12xx的最小值为π2，则fx（）．A．在π0,6上是增函数B．在π0,6上是减函数C．在ππ,312上是增函数D．在ππ,312上是减函数【答案】D【解析】化简得到2sin23xgxfx，分别计算π0,6x和ππ,312x时的单调性得到答案.【详解】sin3cos2sin2,23xxfxx，124fxfx，且12xx的最小值为π2，故22,22T2sin22sin233xxxgxf当π0,6x时，22,333x，函数有增有减，故AB错误；当ππ,312x时，2,332x，函数单调递减，故D正确，C错误；故选：D【点睛】本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应第6页共18页用.12．已知1F，2F分别是双曲线222-1(0)yxbb的左、右焦点，过点1F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段12FF为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．12，B．3+，C．132+，，D．2+，【答案】D【解析】根据题意求出点P的坐标，再根据120PFPF即可容易求得.【详解】由题可知，渐近线方程为ybx，故可得直线1PF方程为ybxc，联立ybx，即可求得点P坐标为,22cbc，又因为点P在以线段12FF为直径的圆外，故可得120PFPF，则3,,02222cbcbcc，则222344bcc，解得23b，则离心率212eb.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题；本题的难点在于点P坐标的求解，以及点在圆外的转化.二、填空题第7页共18页13．设,xy满足约束条件21210xyxyxy，则32zxy的最小值为__________．【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】由x，y满足约束条件2121,0xyxyxy作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立2121xyxy，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，150.现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______.【答案】130【解析】根据分层抽样的概率，即可容易求得.【详解】第8页共18页由题可知，B型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等，则其概率16112021015030P.故答案为：130.【点睛】本题考查分层抽样的概率计算，属基础题.15．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为315，12,cos4bcA，则a的值为___________．【答案】8【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.16．我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为26；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为____．第9页共18页【答案】①②④【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为26，故②正确；由已知可得，PB=22，PC=26，PD=25，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为12PC=6，其表面积为4π×26=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为①②④．【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．三、解答题17．已知等比数列na的各项均为正数，234848aaa，．(Ⅰ)求数列na的通项公式；(Ⅱ)设4log.nnba证明：nb为等差数列，并求nb的前n项和nS．第10页共18页【答案】（Ⅰ）12nna（Ⅱ）见解析，234nn【解析】（1）利用2342248aaaqaq及28a求得q，从而得到通项公式．（2）利用定义证明nb等差数列，并利用公式求和．【详解】（Ⅰ）设等比数列na的公比为q，依题意0q．由2348,48aaa得28848qq，解得2q=．故21822nnna．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1441loglog22nnnnba．故112nnbb，所以nb是首项为1，公差为12的等差数列，所以2113