实变函数与泛函分析基础第三版第七章答案

习题解答1、设(,)Xd为一度量空间，令00(,){|,(,)}UxxxXdxx00(,){|,(,)}SxxxXdxx，问0(,)Ux的闭包是否等于0(,)Sx。解答：在一般度量空间中不成立00(,)(,)UxSx，例如：取1R的度量子空间[0,1][2,3]X，则X中的开球(1,1){;(1,)1}UxXdx的的闭包是[0,1]，而(1,1){;(1,)1}[0,1]{2}SxXdx2、设[,]Cab是区间[,]ab上无限次可微函数全体，定义()()()()01|()()|(,)max21|()()|rrrrrratbftgtdfgftgt，证明：[,]Cab按(,)dfg构成度量空间。证明：（1）显然(,)0dfg且(,)0dfg()()()()1|()()|,max021|()()|rrrrratbftgtrftgt,[,]rtab有()()|()()|0rrftgt，特别当0,[,]rtab时有|()()|0ftgt[,]tab有()()ftgt。（2）由函数()1tftt在[0,)上单调增加，从而对,,[,]fghCab有()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()|max2rrrrrratbrrrrrrrrratbrrrratbrftgtdfgftgtfththtgtfththtgtftht()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()||()()|1|()()|=max21|()()||()()|1|()()|max21|()()|rrrrrrrrrrrrratbrrrrrratbrhtgtfththtgtfthtfththtgthtgtftht()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|maxmax21|()()|21|()()|(,)(,)rrrrrrrrrrrratbatbrrhtgtfththtgtfththtgtdfhdhg即三角不等式成立(,)(,)(,)dfgdfhdhg。3、设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集12,,,nOOO包含B，而且1nnOB。证明：设B为度量空间X中的闭集，作集：1{|(,)},(1,2,)nOxdxBnn……，nO为开集，从而只要证1nnBO；可实上，由于任意正整数n，有nBO，故：1nnBO。另一方面，对任意的01nnxO，有010(,)dxBn，(1,2)n……令n有0(,)0dxB。所以0xB（因B为闭集）。这就是说，1nnOB综上所证有：1nnBO。4、设(,)dxy为度量空间(,)Xd上的距离，证明(,)(,)1(,)dxydxydxy也是X上的距离。证明：首先由(,)dxy为度量空间(,)Xd上的距离且(,)(,)1(,)dxydxydxy，因此显然有(,)dxy且(,)0dxy的充要条件是(,)0dxy，而(,)0dxy的充要条件是xy，因此(,)0dxy的充要条件是xy。其次由函数()1tftt在[0,)上单调增加有(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)(,)(,)1(,)(,)1(,)(,)(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)dxydxzdyzdxydxydxzdyzdxzdyzdxzdyzdxzdyzdxzdyzdxzdyzdxzdyz即三角不等式成立。所以(,)dxy也是X上的距离。5、证明点列{}nf按题2中距离收敛于[,]fCab的充要条件为nf的各阶导数在[,]ab上一致收敛于f的各阶导数。证明：由题2距离的定义：()()()()01|()()|(,)max21|()()|rrrrratbrftgtdfgftgt则有：若{}nf上述距离收敛于f，则()()()()0|()()|1(,)max0()21|()()|rrnnrrratbrnftftdffnftft。所以对任何非负整数r有：()()()()|()()|max2(,)0()1|()()|rrrnnrratbnftftdffnftft。由此对任何非负实数r有()()max|()()|0()rrnatbftftn。从而对任何非负整数r，nf的各阶导数()rnf在[,]ab上一致收敛于f的各阶导数()rf。反之：若对每个r，nf的各阶导数()rnf在[,]ab上一致收敛于f的各阶导数()rf，则对每个0,1,2,r有()()max|()()|0()rrnatbftftn，则0,,rrNnN有：()()max|()()|rrnatbftft从而对任意的非负实数r有：()()()|()()|max1|()()|1rrnratbnftftftft。又由于从而；()()()()00|()()|11(,)max21|()()|2rrnnrrrratbrrnftftdffftft，于是0,R有：112rR。从而取01max(,,),RNNNNnN时()()()()0|()()|1(,)max21|()()|rrnnrrratbrnftftdffftft()()()()()()()()01|()()||()()|11maxmax21|()()|21|()()|rrrrRnnrrrrrratbatbrrRnnftftftftftftftft1011112(1)23.1+221+2RRrrrrR于是0,,NnN有(,)ndff。从而点列{}nf按题2中距离收敛于[,]fCab。7、设E及F是度量空间中两个集，如果(,)0dEF，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明：记,(,)inf(,)0xEyFrdEFdxy。xE，以1(,)2xdxF为半径作点x的邻域(,)xUx，令(,)xxFOUx，则O是开集且EO。同理可作开集G，使得1(,)((,))2yyyFFGUydyE。余证OG，如若不然即OG，则存在POG，由O及G的作法可知，必有,xEyF，使得(,),(,)xyPUxPUy，即1(,)(,)2xdxPdxF，1(,)(,)2ydyPdyE。从而有1(,)(,)(,)[(,)(,)]2dxydxPdyPdxFdyE另一方面(,)(,)dxFdxy，(,)(,)dyEdxy，从而有1(,)[(,)(,)](,)2dxydxFdyEdxy，由于,(,)(,)inf(,)0xEyFdxydEFrdxy，故得矛盾。因此OG。9、设X是可分距离空间，F为X的一个开覆盖，即F是一族开集，使得对每个xX，有F中的开集O，使xO，证明必可从F中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明：因X是可分距离空间，所以在X中存在可数稠密子集12{,,}nBxxx。因F是X的一个开覆盖。因此xX，存在F中的开集O，使得xO且x是O的内点。存在0r，使(,)xUxrO，因B在X中稠密，从而可在(,)4rUx上取出B中的点kx，再取有理数r，使得42rrr（此处的有理数r与,kxx均有关系）于是(,)(,)kxUxrUxrO，由xX的任意性从而满足该条件的开集O的全体覆盖X。又由于(,)kUxr的kx和r均为可数故这种开集O的全体至多可数。10、设X是距离空间，A为X中的子集，令()inf(,),xAfxdxyxX，证明()fx是X上的连续函数。证明：0,xxX，则由00(,)(,)(,)dxydxxdxy可得0000inf(,)(,)inf(,)()(,)()yAyAdxydxxdxyfxdxxfx00()()(,)fxfxdxx同理可得：00()()(,)fxfxdxx00|()()|(,)fxfxdxx。因此当0xx即0(,)0dxx时有0|()()|0fxfx。所以()inf(,),xAfxdxyxX在0x处连续，由0x在X上的任意性得()inf(,)xAfxdxy在X上连续。14、Cauahy点列是有界点列。证明：设{}nx是度量空间中的(,)Xd中的Cauahy点列，则0,,,NnmN有(,)nmdxx。特别取1，N则对任意的,nmN有(,)1nmdxx，则.sup(,)1nmnmNdxx，即点列{,1}nxnN的直径({,1})1nxnN，从而点列{,1}nxnN是(,)Xd有界集。其次对于{,11}nxnN，取max{(,},1,1}ijMdxxijN，则({,11})nxnNM即{,11}nxnN是(,)Xd中的有界集。又集{}nx{,11}{,1}nnxnNxnN，所以{}nx有界。设(,||||)X是赋范空间，{}nx是(,||||)X中的Cauahy点列点列，则0,,,NnmN时有||||nmxx，今取1，则N，使得1||||1nNxx。1,||||||||1nNnNxx，取121{||||,||||,||||,||||1}NNMxxxx，则n，有||||nxM。所以点列{}nx有界。18、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记(,)sup(,)nnnxxdAxAxadxx，若1nna，则映射A有唯一不动点。证明：因1nna，由级数收敛之必要条件有lim0nna，于是对于01，N，nN时有||na。于是nN时，(,)(,)nndAxAxdxx(,)(,)nndAxAxdxx。从而从1N后，映射A是X到X的压缩映射。又由于X是完备的，所以映射A有唯一不动点。