线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵

一、初等变换二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法下页第5节矩阵的初等变换与初等矩阵5.1初等变换交换第i行与第j行记为rirj.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页第5节矩阵的初等变换与初等矩阵-113-1交换第i列与第j列记为cicj.15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i行记为kri.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i列记为kci.15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i行的k倍加到第j行记为rj+kri.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i列的k倍加到第j列记为cj+kci.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).=E(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4———=E(2,4)1000010000100001E=0001100000100100c2c4———下页5.2初等矩阵=E(3(4))1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))1000010000100001E=00401000100000014c3———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：=Er(2,4(k))1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=Ec(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k≠0).其逆阵分别为:下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.E(1,2)A==与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)==例如，设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100001010aaaaaaaaaaaa21a22a23a24a14131211aaaa34333231aaaa1000010000010010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa12a22a32a312111aaa332313aaa342414aaa下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.E(1(3))A==与A的第一行(列)乘以3所得结果相同.AE(1(3))==例如，设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA111213142122232431323334300010001aaaaaaaaaaaa113a123a133a143a21222324aaaa34333231aaaa1112131421222324313233343000010000100001aaaaaaaaaaaa113a213a313a122232aaa332313aaa342414aaa下页=与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.=例如，设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100010201aaaaaaaaaaaa31112aa+34333231aaaa1000010200100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa13112aa+23212aa+33312aa+322212aaa332313aaa342414aaaE(1,3(2))A=AE(1,3(2))=32122aa+33132aa+34142aa+24232221aaaa下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.5.3求逆矩阵的初等变换方法定理2若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.证：因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11≠0.将A的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:1110,0BA=由定理1知，121,mBFFFA=其中Fi是对应初等矩阵.22100100BA=一直进行下去，最终把A化成了单位矩阵E.同理可得B2:下页即B2的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零.推论方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.下页证（必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E,即存在初等矩阵sF,,F,F21使AFFFE12s=11111111121121ssss----------==AFFFFEFFFF而1111211,,,,-----ssFFFF是初等矩阵.（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握)构造一个n×2n矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即1-AEEA行变换下页)|(121EAPPPPmm-121121(|)mmmmPPPPAPPPPE--=若,则1121,mmPPPPA--=)|(1-=AE可知，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成了A-1.于是有即1121,mmPPPPEA--=EAPPPPmm=-1211BB-行变换AEA一般地有.,3431223211-=AA求设解：例1.------103620012520001321=100343010122001321EA213123rrrr--若矩阵A可逆,则矩阵(A|E)可经初等行变换化为(E|A-1).下页--------111100012520011201------111100563020231001.111253232311----=-A10013235010322001111----132325rrrr--1232rrrr+--0.5r2-r3下页例2.设110011101A=111112121B=求1AB-解[2(1)1][2(1)3][1(1)3]110111101001011112011112101121002122-++-+--=AB1[2(1)1]332[3(1)2]1010011001210011112010120100112110011211++-+--从而1121012011211-=AB解矩阵方程AX＝B则得X＝A-1B例3．求矩阵A=的逆矩阵.12-301210-512-301210-5100010001解：10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-110027-21—r2+r3r1-0.5r3—100-2.51-0.50105-110013.5-10.5，-2.553.51-1-1-0.510.5A-1=.r30.5下页(AE)=一、矩阵的秩的概念二、初等变换求矩阵的秩下页第6节矩阵的秩定义1设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列式，称为A的k阶子式.如矩阵第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为-=230012112011A1202三阶子式共有4个110112003-112111002-102121032102121032-下页6.1矩阵的秩的概念第6节矩阵的秩定义2若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).规定零矩阵的秩为零.易见：（1）若A是m╳n矩阵，则r(A)≤min{m,n}.（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零，则r(A)≥r；若所有r+1阶子式全等于零，则r(A)≤r.（3）r(A)=r(AT).（4）r(kA)=r(