高中数学《导数和函数的单调性》教学设计

1课题：《导数和函数的单调性》教学设计教材：选修课本2-2第28-29页一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。它是导数在函数中的第一种应用，也是下面研究函数极值、最值的基础知识．函数的单调性，是苏教版必修一的内容，本节课从另一个角度，利用导数这种新方法，开展对单调性的研究．一方面，利用单调性的定义，阐述使用导数工具的合理性；另一方面，通过对函数求导，探究其单调性，进一步扩大了可研究单调性的函数的范围，是对单调性的深入和扩展．新课程数学理念中，提出“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达的能力”，本节课，就试图渗透这种理念，提高学生理性思维能力．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1.通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．四、教学重点、难点1.用导数的方法求函数的单调区间.22.导数的正负和函数单调性的关系的几何解释．五、教学方法与教学手段设置问题串，启发式教学，通过多媒体PPT和几何画板，动态演示．六、教学过程1.提出问题，设置情境给出课本的章头图，一张过山车的图片。从如果我们把这一段过山车的轨道抽象成一段函数的图象，上升和下降则对应着函数递增和递减，那坐过山车的人如何准确判断自己处于上升阶段还是下降阶段这个实际问题出发，引出今天探讨的课题---单调性，并且为后面的导数和函数单调性关系的几何解释，埋下伏笔。师：我们已经知道函数xye函数的单调性。那么，如何研究函数xyex的单调性呢？（学生讨论回答）两个实数集上的增函数相加仍然是增函数。师：那么函数xyex的单调性又如何呢？教学预设：（如学生说也是单调递增的，师：为什么？如果生：感觉．师：好，等会我们就看你的感觉对不对．如果生：两个增函数相减还是增函数．师：xyxe这个函数也可以看成是两个增函数相减，也是单调递增吗?（停顿）这显然就出现问题了．所以说两个函数增函数相减不一定是增函数．如果生：xye增长得比yx快．师：画出图象给学生看，xye并不是一直增长的比yx快．师：那这个函数的单调性到底如何？）【设计意图】通过课本上的章头图，一张过山车的图片开始。如果我们把这一段过山车的轨道抽象成一段函数的图象，上升和下降则对应着函数递增和递减．通过坐过山车的人如何准确判断自己处于上升阶段还是下降阶段这个问题引出今天讨论的主题--函数的单调性，并且为下面的导数和函数关系的几何解释埋下伏笔．3通过熟悉的问题引出，层层递进，从“能够解决到不能解决”，激发学生的探究的好奇心．师：判断函数单调性还有哪些方法啊？生：利用定义或图象等等．师：你是倾向于先用图象观察，还是先用单调性的定义去探究呢？【设计意图】先图形直观，再用定义去探究，符合研究数学问题的一般规律.2.数形结合，直观感受利用几何画板画出()xfxex的图象，引导学生根据图象说出函数的单调区间，并请学生说出说出判断的依据．生：函数在,0上递减，在0,上递增．师：能具体说说单调函数的图象特点吗？生：增函数图象是上升的，减函数图象是下降的．师：所以说函数的单调性就是对函数变化趋势的一种刻画．师：这位同学很快的找到了单调区间，但我对他的结论持怀疑态度，大家想想为什么？这个函数为什么不能是在,01，上递减，在0.1,上递增呢？所以说，图象法虽然直观，但不够精确，由此得到的结论不够严谨，缺乏说服力．【设计意图】让学生认识到用图象法判断函数单调性的优缺点.考虑数学问题时，既要有直观感受，也重视推理证明．图象法虽然形象直观，但是不够严谨。培养学生的严谨的思维习惯．3.回归定义，寻求方法师：首先请同学回忆定义法判断函数单调性的基本步骤是什么？生：任取变量，作差，变形，定号．师：下面请同学们具体动手做做，看能否用定义证明这个函数在0,上递增．10864224681015105510154（用实物展台展示学生成果）任取12,xx，….1212121212()()()()()()xxxxfxfxexexeexx师：刚才，我看大部分同学都在这里停了笔，确实这里已无法继续变形，也无法确定符号，怎么办？师：研究数学问题，数与形互为补充当单纯的代数变形无法继续的时候，我们往往会借助图象寻找解决问题的突破口.师：再从图象上看，函数值1()fx，2()fx对应什么？生：函数图象上点的纵坐标．师：12()()fxfx呢？板书生：点的纵坐标的差．师：12xx呢？生：横坐标的差．师：因为1x小于2x，所以12xx小于0，如果函数单调递增，则12()()fxfx也小于0.这说明两者同号，我们一般如何表示两个表达式同号？生：相乘或相除大于0．师：那是选相乘还是相除？生：相除有几何意义，表示斜率．板书：函数单调递增1212()()0.fxfxxx师：所以要说明函数在0,上单调递增，只需要满足什么条件？生：说明图象在0,上的每一条割线斜率为正．由形助数，寻找解决问题新的突破口，是研究数学问题的有效途径。4．回到图象，以形助数师：那图象在0,上的割线斜率是否都为正？让我们重新回到函数的图象中．师：......此刻割线的斜率大于0，这里点P和点Q是图象上任意两个动点，我们遇到两个动点，一般的处理方法是什么？生：先固定一个点，只运动另一个点．5师：这里我们可以固定左边这个点，只运动右边这个点．请大家注意观察割线的斜率的变化生：斜率不但都大于0，而且还不断变小．师：在点Q向点P的靠拢过程中，割线的斜率最小是多少呢？生：过点P的切线斜率．师：作为割线，这里点Q可以向点P无限逼近，那割线的斜率就会无限接近切线的斜率，但始终会大于切线的斜率，所以要想使过点P向右的所有割线斜率都大于0，只要满足什么条件？生：只要切线的斜率大于0．（停顿，给学生思考时间）这里固定的是左边的点．如果固定的是右边的点，让左边的点P向右边的点Q靠拢，则不能得到切线的斜率始终小于割线的斜率这个结论．具体需要固定左边还是右边的点不仅仅和函数在该区间上递增，递减有关，还和函数的凹凸性有关．但如果讲清楚的话，则会加重本节课负担，而且会冲淡主题，所以这里用了“可以固定左边这个点”这句话．师：点P也是一个动点，如果点P在0,上任意的位置时，都有P点处的切线大于0呢？那就意味着在0,上任意位置上画向右的任意割线斜率都大于0，即0,上所有的割线斜率都大于0，也就说明了0,上函数单调递增．接下来，如何验证0,上的切线的斜率处处为正呢？还需要继续观察图象吗？生：只要验证0,上所有点的导数值为正就可以了．师：请大家判断()xfxex在0,上的导数值的正负．师：这说明函数在0,上单调递增．-0，上的单调性我们可以用同样的方法去研究．同学们，要想说明函数在-0，上单调递减，只要相应地满足什么条件就可以了？6生：函数在-0，上的导数值小于0．【设计意图】通过割线联想到切线，这样设计过渡比较自然，也贴切学生的学习实际．师：通过刚才的研究，我们发现函数导数的正负和函数的单调性密切相关，那这种关系是否具有普遍性呢?首先我们利用几个常见的函数验证一下．5.初步应用，熟悉方法下面我们通过几个常见的函数进行进一步验证。函数单调区间单调区间上导数符号（1）2yx（2）xye（3)lnyx（4）sin0,yxx设计意图：这是通过所学的函数的单调性和导数的关系，对形成的结论进一步加以佐证，便于学生生成方法．6.形成概念，巩固认识（PPT投影）对于函数()yfx,如果在某区间上()0fx，那么()fx为该区间上的增函数；如果在某区间上()0fx，那么()fx为该区间上的减函数．师：我们课的开始把过山车的轨道抽象成了函数的图象，那人的视线呢？生：函数图象上点的切线．师：考虑到人的身高，准确点应该和切线平行．师：那人如何判断自己正处于上升阶段，还是下降阶段呢？（看视线向上和向下）7由此你能得到什么样的数学结论？生：视线向上，切线斜率为正，过山车处于上升阶段，函数单调递增．视线向下，切线斜率为负，过山车处于下降阶段，函数单调递减．【设计意图】结合生活中的数学，加强用导数研究函数单调性的几何直观，培养学生从生活中发现数学原理，学会“数学”地看问题意识．）7.反置问题，加深理解师：我们知道，如果将一个命题看成原命题的话，它的逆命题可真可假。那刚才这个结论的逆命题是什么？生：如果()fx在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0fx．结合函数3yx，这个命题的逆命题正确吗？生：容易发现这个命题是假命题．因为虽然3yx在R上单调递增，但(0)0f．师：函数的单调性是函数的区间性质，即使在区间内的个别孤立的点处，导数为0，但图象在该点两侧同为上升，或者同为下降的趋势，不影响函数在整个区间上的单调性．【设计意图】逆向思考命题，加深思维深度，全面认识导数法研究单调性．师：当我们发现了导数和函数的单调性的关系后，不仅为研究函数单调性又增加了一种新方法，还可以用来判断以前用传统方法无法判断的函数的单调性.8.解决问题，巩固概念例1．确定函数32()267fxxx在哪些区间上是增函数．详细板书利用导数求出单调区间后，我们可以进一步画出函数的草图．8（利用计算机画出上述函数的图象，和学生所画的图作比较）作出了这个草图，我们还可以进一步结合这个图研究这个函数其它的函数性质.【设计意图】初步得出结论，学生发现了用导数可以研究单调性。但是，学生尚不能体会用导数研究单调性的优越性，需要结合问题，让学生感受导数研究单调性的高效、方便。师：刚才我们通过导数求出了函数的单调区间，进一步画出了函数的草图，那如果我们知道了函数的图象，能否画出导函数的草图呢？例2已知函数()fx的图象如图所示，试作出()fx的草图．师：由这个图我们可以看出函数在某区间上递增和递减，对应着导函数在该区间上的正负．【设计意图】通过本题进一步加深学生对导数和原函数关系的理解．9.自创问题，独立解决师：我们本节课解决的()xfxex和三次函数的单调性，都可以看成是基本的初等函数进行四则运算得到的，下面请同学们参照这样的方法自己构造函数，并尝试用导数判断出单调性．10.回顾课堂，提炼思想师：同学们，大家刚才构造了很多函数，有些可以用导数判断它的单调性，有些则不行。其实，与单纯用单调性的定义来研究函数的单调性相比，导数工具大大拓展了可以研究单调性的函数的范围，希望同学们课后继续研究。最后我们小结一下今天所学的内容。七、教学设计说明利用导数解决函数的单调性，是高中阶段研究函数单调性的常用的方法．xyO()yfx35359本节课安排在教材选修2-2的第一章第3节。本章的第1、2节，介绍了函数的导数的概念及运算，学生接触到“割线逼近切线”的思想方法，掌握了常见函数的求导公式，这为本节课奠定了思想基础，做好了知识准备．本节课的引入，教师试图通过三个问题，让学生经历“从能够解决问题到不能解决问题”的历程，必须提出新的方法，解决新的问题，触动师生共同研究