用水平面代替水准面的限度

用水平面代替水准面的限度当测区范围较小时，可以把水准面看作水平面。探讨用水平面代替水准面对距离、角度和高差的影响，以便给出限制水平面代替水准面的限度。一、对距离的影响如图1-10所示，地面上A、B两点在大地水准面上的投影点是a、b，用过a点的水平面代替大地水准面，则B点在水平面上的投影为b′。设ab的弧长为D，ab′的长度为D′，球面半径为R，D所对圆心角为θ，则以水平长度D′代替弧长D所产生的误差△D为：ABabb′θRODD′图1-10用水平面代替水准面对距离和高程的影响)(tantanRRRDDD（1-7）将tanθ用级数展开为：5312531tan因为θ角很小，所以只取前两项代入式（1-7）得：333131(RRD）（1-8）又因RD，则233RDD（1-9）223RDDD（1-10）取地球半径R=6371km，并以不同的距离D值代入式（1-9）和（1-10），则可求出距离误差ΔD和相对误差ΔD/D，如表1-1所示。表1-1水平面代替水准面的距离误差和相对误差距离D/km距离误差ΔD/mm相对误差ΔD/D1081：1220000201281：2000005010261：4900010082121：12000结论：在半径为10km的范围内，进行距离测量时，可以用水平面代替水准面，而不必考虑地球曲率对距离的影响。二、对水平角的影响从球面三角学可知，同一空间多边形在球面上投影的各内角和，比在平面上投影的各内角和大一个球面角超值ε。2RPρ（1-11）式中ε——球面角超值（″）；P——球面多边形的面积（km2）；R——地球半径（km）；ρ——一弧度的秒值，ρ=206265″。以不同的面积P代入式（1-11），可求出球面角超值，如表1-2所示。表1-2水平面代替水准面的水平角误差球面多边形面积P/km2球面角超值ε/（″）100.05500.251000.513001.52结论：当面积P为100km2时，进行水平角测量时，可以用水平面代替水准面，而不必考虑地球曲率对距离的影响。三、对高程的影响如图1-10所示，地面点B的绝对高程为HB，用水平面代替水准面后，B点的高程为HB′，HB与HB′的差值，即为水平面代替水准面产生的高程误差，用△h表示，则222)(DRhRhRDh22上式中，可以用D代替D′，相对于2R很小，可略去不计，则RDh22（1-12）以不同的距离D值代入式（1-12），可求出相应的高程误差△h，如表1-3所示。表1-3水平面代替水准面的高程误差距离D/km0.10.20.30.40.512510△h/mm0.83713207831419627848结论：用水平面代替水准面，对高程的影响是很大的，因此，在进行高程测量时，即使距离很短，也应顾及地球曲率对高程的影响。