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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 1.1.1直角三角形的性质与判定(Ⅰ)同步练习含答案
湘教版8年级下册数学1.1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)同步练习一、选择题(本大题共8小题)1.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形2.若直角三角形中的两个锐角之差为22°,则较小的一个锐角的度数是()A.24°B.34°C.44°D.46°3.如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上,则∠1+∠2等于()A.60°B.75°C.90°D.105°4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=2,则AC=()A.1B.4C.D.5.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,那么与∠B互余的角的个数有()A.1个;B.2个;C.3个;D.4个;6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=cm,则AB边上的中线长为()A.1cmB.1.5cmC.2cmD.cm7.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元8.如图,∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB.若AE=10,则DF等于()A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共6小题)9.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形为__________三角形.10.如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是__________.11.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长度是______cm.12.如图,Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD的度数.13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则AC=______.14.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是BC、AC的中点,AB=8,则DE的长是.三、计算题(本大题共4小题)15.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D为AB中点,DE⊥AC于E,∠A=30°,求BC,CD和DE的长16.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,CE为AB边上的中线,且∠BCD=3∠DCA。求证:DE=DC。17.已知:△ABC中,AB=AC=BC(△ABC为等边三角形)D为BC边上的中点,DE⊥AC于E.求证:ACCE41.18.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等。求证:AE=DF。参考答案:一、选择题(本大题共8小题)1.B分析:根据三角形的内角和定理可解答得到。解:因为三角形内角和为180,三角形三角之比为1∶2∶3,故可得到最大角为90,可判断是直角三角形,故选B。2.B分析:可设其中的小角的度数为X,则另一个角的度数为x+22,根据直角三角形的性质可计算得到。解:设其中的小角的度数为X,则另一个角的度数为x+22,则有X+x+22=90,解得x=34,故选B。3.C分析:根据对顶角的性质可判断∠1+∠2等于90°。解:∠1+∠2等于90°故选C4.C分析:根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC,然后利用勾股定理列出方程求解即可.解:∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=90°-60°=30°,∴AB=2BC=4,由勾股定理得,AC2=AB2-BC2,∴AC=2.故选C.5.C分析:由“直角三角形的两锐角互余”,结合题目条件,找出与∠A互余的角.解:∵∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∴与∠A互余的角有2个,故选C.6.A分析:设斜边AB=2x,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x,再利用勾股定理列式求出x的值,从而得到AB,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.解:设斜边AB=2x,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=12AB=x,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,即(2x)2=()2+x2,解得x=1,∴AB=2×1=2cm,AB边上的中线长=12AB=12×2=1cm.故选A.7.B分析:作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,则∠DAC=30°,由AC=30m,即可求出CD=15m,然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2,最后根据每平方米的售价即可推出结果.解:如图,作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°,∵CD⊥BD,AC=30m,∴CD=15m,∵AB=20m,∴S△ABC=12AB×CD=12×20×15=150m2,∵每平方米售价a元,∴购买这种草皮的价格:150a元.故选B.8.A分析:作DG⊥AC,根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE,再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD,求出∠DEG=15°×2=30°,再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长,然后根据角平分线的性质求出DF.解:作DG⊥AC,垂足为G.∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠DAE=∠ADE=15°,∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°,∴∠DEG=15°×2=30°,∴ED=AE=10,∴在Rt△DEG中,DG=12ED=12×10=5,∴DF=DG=5.故选A.二、填空题(本大题共6小题)9.分析:根据三角形的内角和进行解答即可。解:证明:∵AD=CD,∴∠A=∠1.同理∠2=∠B.∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°,即2(∠1+∠2)=180°,∴∠1+∠2=90°,即:∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.故答案为直角三角形。10.分析:根据直角三角形中线的性质解答即可。解:∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,∴在Rt△BCE中,EM=12BC=4,在Rt△BCF中,FM=12BC=4,∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.11.分析:先求出∠ACD=30°,然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答.解:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°(同角的余角相等),∵AD=2cm,在Rt△ACD中,AC=2AD=4cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=8cm.∴AB的长度是8cm.12.解:∵EF∥AB,∴∠BCF=∠B.∵∠BCF=35°,∴∠B=35°.∵△ABC为直角三角形,∴∠CAB=90°-35°=55°.∵DC是斜边AB上的中线,∴AD=BD=CD,∴∠ACD=∠A=55°13.分析:根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°,求出AD=BD=6,CD=BD=3,即可求出答案.解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,∠A=90°-60°=30°,∠CBD=∠ABD=12∠ABC=30°,∴∠A=∠ABD,∴AD=BD=,∵AD=6,∴BD=6,∴CD=12BD=3,∴AC=6+3=9,故答案为:9.14.解:∵∠B=∠C,∴AB=AC.又D是BC的中点,∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又E是AC的中点,∴DE=12AC.∵AB=AC,AB=8,∴DE=12AB=12×8=4.三、计算题(本大题共4小题)15.分析:由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半,BC可求,由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt△ADE中,有∠A=30°,则DE可求.解:在Rt△ABC中∵∠ACB=90∠A=30°∴ABBC21∵AB=8∴BC=4∵D为AB中点,CD为中线∴421ABCD∵DE⊥AC,∴∠AED=90°在Rt△ADE中,ADDE21,ABAD21∴241ABDE16.证明:∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°∴∠DCA=22.5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°∴DE=DC17.分析:CE在Rt△DEC中,可知是CD的一半,又D为中点,故CD为BC上的一半,因此可证.证明:∵DE⊥AC于E,∴∠DEC=90°(垂直定义)∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC∠C=60°∵在Rt△EDC中,∠C=60°,∴∠EDC=90°-60°=30°∴CDEC21∵D为BC中点,∴BCDC21∴ACDC21∴ACCE41.18.解:∵在Rt△ACB中,D为AB中点,∴ADABCD21且,∠2=∠3∵DE∥CF∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴在△DEA与△DFC中CDADCFDE31∴△EDA≌△DFC(SAS)∴AE=DF
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