不等式的证明(6)--构造法

《高中数学同步辅导课程》不等式的证明（6）--构造法奎屯王新敞新疆教学目的：教学重点：教学难点：函数构造法.几何构造法.重点掌握函数的单调性,三角函数的有界性等.01xxxy通过数形结合,培养学生思维能力,提高逻辑推理能力.逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式.①作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——定号（差值的符号）一、复习引入②作商比较法的步骤：作商——变形（化简）——判断（商值与实数1的大小关系）——得出结论1.比较法依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法.2.综合法：一、复习引入由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.综合法的思维特点是：12nABBBB……证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.3.分析法：①用分析法证明不等式的逻辑关系是：12nBBBBA一、复习引入②分析法的思维特点是：执果索因③分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真.一、复习引入4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式化为简单明了的式子进行论证或求值的方法叫做换元法.⑴三角代换法，如：①若x2+y2=1,可令x=cosα，y=sinα②若x2+y2≤R2，可令x=rcosα,y=rsinα（r≤R）③当-1≤x≤1时，可令x=cosα，α∈[0,π]④若y=21x可令x=cosα，此时y=sinα，α∈[0,π]⑵代数换元：整体换元、均值换元、设差换元等方法一、复习引入放缩常用的技巧：（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的（2）在分式中放大或缩小分子或分母（3）可利用基本不等式进行放缩放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度.5.放缩法：在证明不等式中常将一边（或其中一项）A放大为B（或缩小为B），得到不等式A≤B（或A≥B），连续使用不等式链A≤B≤…≤M，以达到证明A≤M的方法，称为放缩法.其中放缩适度是解决问题的关键.一、复习引入6.反证法的一般步骤：反设结论找出矛盾肯定结论在直接证明不等式有困难时，可以试用反证法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证.一、复习引入二、新授内容7.构造法：;;构造图形法②构造方程法:对于形如a≤f(x)≤b的不等式，令y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件△≥0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的.根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法.①构造函数法③几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的.a2aoyx21oyx①函数在0＜x≤1,x＞1时的单调性.xxy1②函数,(a0)在时的单调性.xaxyaxax,0二、新授内容8.对勾函数：例1求函数的最小值.4522xxy分析：请思考下面解法对否？41441445222222xxxxxxy2414222xx∴函数的最小值是2.上面的解法是错误的,此时“=”不能达到，因为当.3414222xxx故取等号时的x值不存在.三、例题讲解tty1解：令则有tx42（t≥2）根据函数当t≥2是增区间tty112oy25．12oy25．x225524xyx例1求函数的最小值.4522xxy25∴ymin=三、例题讲解（构造函数法）1-1xy2121-1例2求证：112xx解：设4521145211122222xxxxxxxxy1x1x······o利用函数图象可得y≥-1112xx思考：如何求证：123xx三、例题讲解（构造函数法）例3已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2.证明：（构造方程法）由题设显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a0，则b+c=-a且bc=2/a，即b,c是二次方程022aaxx的两个实根280aaa≥2∴a,b,c中至少有一个不小于2.三、例题讲解（此法也称判别式法）三、例题讲解例4已知0a1，0b1，求证：22)1()1()1()1(22222222babababa1-bba1-a1-bb1-aaGEHFABCDO证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点O到AD,AB的距离为a,b，则|AO|+|BO|+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD|其中22||baAO22)1(||baBO22)1()1(||baCO22)1(||baDO2||||BDAC22222222(1)(1)(1)(1)22abababab1.当x∈R+时,下列函数中最小值是2的为(A)y=x2－2x+4(B)xxy1621222xxy(C)(D)xxy1（）D2.设0xxxysin2sin求的最小值.解：设t=sinx则（0t≤1)tty2在0t≤2是减区间∴当t=1时,ymin=3.2ytt四、练习3.若ab1,则aa1bb14.求证：121xx证明：设xxy21=－2x+3(x≤1)1(1x≤2)2x－3(x2)112xyo121xx由图像知,ymin=1四、练习5.求证：23112122xxx证明：设1122xxxy则（1－y)x2+x+1－y=0当y=1时，x=0①当y≠1时，∵x∈R∴△=1－4（1－y)2≥04y2－8y+3≤0②2321y由①②得23112122xxx点评：⑴求证分式不等式，若分子分母的变量指数最高为二次时，宜用二次函数“△”法。⑵当x2项系数不定时必须讨论系数是0与不是0两种情况。四、练习6．若x,y,z0，则zxxzyzzyxyyx222222证明:（构造图形法）作AOB=BOC=COA=120,设|OA|=x,|OB|=y,|OC|=zzyxOBCA则由余弦定理222222||,||,||ABxyxyBCyzyzCAzxzx因为|AC+||BC||CA|，所以zxxzyzzyxyyx222222四、练习用函数可求两个正数的最小值.但必须判断自变量所在的区间的增减性.通过函数图象，可直接求证含绝对值及难以推理的不等式.0axaxy五、小结①构造函数法:根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法.②构造方程法:对于形如a≤f(x)≤b的不等式，令y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件△≥0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的.五、小结③几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的.本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！