05-测量误差的基本知识

76第五章测量误差在测量工作中一定要认清测量误差的来源、分类及其传播规律，牢牢掌握平差方法，以提高测量精度。测量误码差产生有其多方面的原因。测量误码差还有其不同类型，不同类型又有其不同特性，本节将分别加以研究。第一节测量误差概述一、测量误差及其来源在实际的测量工作中，大量实践表明，当对某一未知量进行多次观测时，不论测量仪器有多精密，观测进行得多么仔细，所得的观测值之间总是不尽相同。这种差异都是由于测量中存在误差的缘故。测量所获得的数值称为观测值。由于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值（简称为真值）之间存在差异，这种差异称为测量误差（或观测误差）。用L代表观测值，X代表真值，则误差=观测值L—真值X，即XL（5-1）这种误差通常又称之为真误差。由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为精度相同。在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测。由于在测量的结果中含有误差是不可避免的，因此，研究误差理论的目的不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。例如：在一系列的观测值中，如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等。所有这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：（一）系统误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。这些误差都属于系统误差。系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响，例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，如风力、温度及大气折光等77的影响。系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响。例如在水准测量中，保持前视和后视距离相等，来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时，采取盘左和盘右观测取其平均值，以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差。另一种是找出系统误差产生的原因和规律，对测量结果加以改正。例如在钢尺量距中，可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消除钢尺长度的影响。（二）偶然误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为偶然误差。例如在水平角测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样，这些都属于偶然误差。产生偶然误差的原因很多，主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成。偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律，这给偶然误差的处理提供了可能性。测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法是：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。在测量的成果中，错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。下面详细分析偶然误差的特性。三、偶然误差的特性偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。在测量实践中，根据偶然误差的分布，我们可以明显地看出它的统计规律。例如在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。已知三角形内角之和等于180°，这是三内角之和的理论值即真值X，实际观测所得的三内角之和即观测值L。由于各观测值中都含有偶然误差，因此各观测值不一定等于真值，其差即真误差Δ。以下分两种方法来分析：（一）表格法由（5-1）式计算可得217个内角和的真误差，按其大小和一定的区间（本例为dΔ=3″），分别统计在各区间正负误差出现的个数k及其出现的频率k/n（n=217），列于表5-1中。78从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27″。实践证明，对大量测量误差进行统计分析，都可以得出上述同样的规律，且观测的个数越多，这种规律就越明显。表5-1三角形内角和真误差统计表误差区间d△正误差负误差合计个数k频率k/n个数k频率k/n个数k频率k/n0″～3″3″～6″6″～9″9″～12″12″～15″15″～18″18″～21″21″～24″24″～27″27″以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合计1080.4981090.5022171.000（二）直方图法为了更直观地表现误差的分布，可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来表示。以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率k/n与区间d△的比值为纵坐标，在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等于误差出现在该区间内的频率k/n。如图5-1中有斜线的矩形面积，表示误差出现在+6″～+9″之间的频率，等于0.069。显然，所有矩形面积的总和等于1。可以设想，如果在相同的条件下，所观测的三角形个数不断增加，则误差出现在各区间的79频率就趋向于一个稳定值。当n→∞时，各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值——概率。若无限缩小误差区间，即d△→0，则图5-1各矩形的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线（如图5-2所示），称为误差概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统计中，它服从于正态分布，该曲线的方程式为式中：Δ为偶然误差；σ（＞0）为与观测条件有关的一个参数，称为误差分布的标准差，它的大小可以反映观测精度的高低。其定义为：在图5-1中各矩形的面积是频率k/n。由概率统计原理可知，频率即真误差出现在区间d△上的概率P（Δ），记为根据上述分析，可以总结出偶然误差具有如下四个特性：（1）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2）集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（3）对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；（4）抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即0limnn（5-5）式中niin121在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示为E（Δ）=0。图5-2中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，其相应误差分布曲线的形状也将随之改变。例如图5-3中，曲线I、II为对应着两组不同观测条件得出的两22221)(ef（5-2）nnlim（5-3）dfddnkP)(/)(（5-4）80组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线的形状中可以看出两组观测的差异。当Δ=0时，21)(11f，21)(22f。211、212是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线I的峰值较曲线II的高，即σ1＜σ2，故第I组观测小误差出现的概率较第II组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。因此，曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。而曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。第二节评定精度的指标研究测量误差理论的主要任务之一，是要评定测量成果的精度。在图5-3中，从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的，表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低，但这种方法即不方便也不实用。因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况，而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说需要有评定精度的指标。在测量中评定精度的指标有下列几种：一、中误差由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为nm][ˆ（5-6）【例5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″；乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。试分析两组的观测精度。【解】用中误差公式（5-6）计算得：3.46534156][0.26301213][222222222222）（乙甲nmnm从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小，所以观测精度高于乙组。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。所以在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度，只要观测条件相同，则中误差不变。81在公式（5-2）中，如果令f（Δ）的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标Δ=±σ≈m。也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。从图5-3也可看出，两条观测条件不同的误差分布曲线，其拐点的横坐标值也不同：离散度较小的曲线I，其观测精度较高，中误差较小；反之离散度较大的曲线II，其观测精度较低，中误差则较大。二、相对误差真误差和中误差都有符号，并且有与观测值相同的单位，它们被称为“绝对误差”。绝对误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观测值的精度。但在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。例如，用钢尺丈量长度分别为100m和200m的两段距离，若观测值的中误差都是±2cm，不能认为两者的精度相等，显然后者要比前者的精度高，这时采用相对误差就比较合理。相对误差K等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，常用分子为