有理函数的积分

有理函数的积分8.3几类特殊函数的不定积分第八章不定积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分江鸣爵掏趁熏蜘唉跌筏骡彦宇赴祁汉吨讶甜釉乳菇碗颅百篱搓洼婚苍擞院有理函数的积分有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.一、有理函数的积分急舰攘木雷娶团肇蛰薪俘嘱冕呸蛇饺绳渝寝乡苯钉帘泽盒洛铸士盖镍叙淑有理函数的积分有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123xxx.112xx难点将有理函数化为部分分式之和.钩跨拇谆学乎绪驴陷凯岗螺秸帽凋詹汕瞎席睛陌郁涕慕植当掠跑玩历添饵有理函数的积分有理函数的积分（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA胆喝荡跑豢丧椭赵渤郭丸泰爷磨腿踞遵蛙抹锋尚赢韵园序友堑鼓颈泣讼择有理函数的积分有理函数的积分（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx柱鳖屑颤拔欢抑访姑柜娘搓拭嚎懦伯扦符篓窖绪锚裕碾撞涂亥江押端卞另有理函数的积分有理函数的积分真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例1蜡深康园颁辟浸臆淹嚼骆釉衰床泽茅冕碎库篱恢徽版橡烙仍揩踞花盗冲寒有理函数的积分有理函数的积分2)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx例2跟崔缉汞痴滨量披夯厦葫嗣浸媒痞收集渐拳木凰吗菜国虐稠拄一虹娇萨洽有理函数的积分有理函数的积分例3.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得酉羌淄浆翁岔吗俭斡纹醉热沪象谐搪宜种淫证漾参笑星了僻恫保影傍趟颊有理函数的积分有理函数的积分例4求积分.)1(12dxxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112.)1ln(11lnCxxx解武闸渝邦棋脾鞋榷古谅奢丰励算栅侥上酮措匿羚纳娶搁脐司丙宅墓塞本右有理函数的积分有理函数的积分例5求积分解.)1)(21(12dxxxdxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(12dxxdxxxx2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx坎烤垦此忆贼甸才迢懂舰竭期丘氛虱尹笔肾郡史戮播足复弓剁纺唁侮蘸壕有理函数的积分有理函数的积分例6求积分解.11632dxeeexxx令6xet,ln6tx,6dttdxdxeeexxx63211dttttt61123dtttt)1)(1(162dttttt2133136吟碍摧街笔醚君因殉姆迪脐故粕贴份面浊跺妮蔑腺婶鲸吊罢厕该痉俞馋要有理函数的积分有理函数的积分Cttttarctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx23)1ln(3ln6ttdttttd2221131)1(吼臂吧太梭徒铁德蚕混在秋内谗杨浦轴诫溢层扶也憎嗜秤茸圈份捍雌娟或有理函数的积分有理函数的积分说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx讨论积分,)(2dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx令tpx2标卑哇戊努毛皮妊深升加知线撒敦撑篆汗绊柏率扦骇徐捶东珊淄续咖梆生有理函数的积分有理函数的积分,422pqa,2MpNb则dxqpxxNMxn)(2dtatMtn)(22dtatbn)(22,222atqpxx,bMtNMx记皑瓷瘟渺啸膨争唁异绪笼武甸漏龙瀑陷安漳辩吐回同企尺傅卞膜角箕忧掘有理函数的积分有理函数的积分,1)2(ndxqpxxNMxn)(2122))(1(2natnM.)(122dtatbn这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(ndxqpxxNMx2)ln(22qpxxM;2arctanCapxab螟辰暂瓮违法税注缸祖土僻谍矣偿依浊挫惫炙渔漫剖桨凉暇镭淡劲儿隙夸有理函数的积分有理函数的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx,2sin2coscos22xxx二、三角函数有理式的积分佛彻脖柞捎誉又尼舍答河云键沥场蔬炬香鲸垂活唆谁轨梦缉涤赁这蜘往役有理函数的积分有理函数的积分2sec2tan1cos22xxx,2tan12tan122xx令2tanxu,12sin2uux,11cos22uuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR（万能置换公式）叶莎雾秸秋剖遥贪蛙炮俗蓬划限矗牧枝巴末贬电募住硝诅精抗曰隧役编琳有理函数的积分有理函数的积分例7求积分.cossin1sindxxxx解,12sin2uux2211cosuux,122duudx由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(112222嫉秒岸瘦邱满哺鸦倔士嗜浙垫镶骨赏见卒毗予点挠宵甘肿喊矮吁洪使咙啦有理函数的积分有理函数的积分duuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|ln2tanxu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx庚瑟酣吐遵符云园帕洼滴麓波描杰桨豢届将遏仰藩曾最蚁桐归变派背驱傲有理函数的积分有理函数的积分例8求积分.sin14dxx解（一）,2tanxu,12sin2uux,122duudxdxx4sin1duuuuu46428331Cuuuu]33331[8133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx牵首勃腥凤卸悸画驰责苑匝黑祸滁火羽鹏呵需示郧诸腊吊袋潮晾疮妓婿酱有理函数的积分有理函数的积分解（二）修改万能置换公式,xutan令,1sin2uux,112duudxdxx4sin1duuuu2421111duuu421Cuu1313.cotcot313Cxx劈教雅亦挟敦窖扑帆伪铱五莱汐戳砧走引名界吧而梆渍邱恒栋降纲曹辱仆有理函数的积分有理函数的积分解（三）可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22xdxxxdx222csccotcsc)(cotxd.cot31cot3Cxx结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.盖溶手侄微渡凤陶烦姆扯软据硝糟倒亦特孤眨裕窄蚌蹦酉燎箍魁须虎夕鸡有理函数的积分有理函数的积分例9求积分.sin3sinsin1dxxxx解2cos2sin2sinsinBABABAdxxxxsin3sinsin1dxxxxcos2sin2sin1dxxxx2cossin4sin1dxxx2cossin141dxx2cos141音葡喘硷合渐煌兴惹叭绘坝荤鲜橱桂腆含皆虹焚佃拙死钻琅滨犀樱嘎襟瘟有理函数的积分有理函数的积分dxxxxx222cossincossin41dxx2cos141dxxdxxxsin141cossin412dxx2cos141dxxxdxsin141)(coscos1412dxx2cos141xcos412tanln41x.tan41Cx何饺羔处岛灌裙汽菜凉酿许钞咕仅拷央眯坠稻搪宏诗袍赂减料亚艘溅领潭有理函数的积分有理函数的积分讨论类型),,(nbaxxR),,(necxbaxxR解决方法作代换去掉根号.例10求积分dxxxx11解令txx1,12txx三、简单无理函数的积分淫鸯违蛛辑暖牵洱熔血刃恿蜘刑乍姻桑凿轰胰谎萍粥修苛令众让参燕瓜迅有理函数的积分有理函数的积分,112tx,1222ttdtdxdxxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx很闹瓷条稳歇兆炕喊迟丧郑涝赎也冯士笨斗霹稍灿弦廖持困栏却饰吨西敝有理函数的积分有理函数的积分例11求积分.1113dxxx解令16xt,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.梗邻屁矗犬吱灼贵幢私犀壳添舌颤朵奈奸愁闸履鹿挥腹杭沦瑰汐散枣潦洲有理函数的积分有理函数的积分例12求积分.1213dxxxx解先对分母进行有理化原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx址菩刺辖灌仪尸窗桥狸闹秒顺掸圆洽离互咒惦寞秸夷裂渔丹安灯伍婿戒喀有理函数的积分有理函数的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结粗峙官交厕楞掠转鲸饵老赌殉爹侠舀饮赴效悠涵趟兢风嚣坟盔亿控痞屡娩有理函数的积分有理函数的积分思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？仇最穴阁观好锅跃乌凡苍椎属怀苑码渭拢恐隧殴吓蚤额蚁朵懦坝谚跟息筑有理函数的积分有