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1线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyxy,则z=x+2y的取值范围是()A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、(3,5]解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将直线向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为()A、4B、1C、5D、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有()A、9个B、10个C、13个D、14个解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxy作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选D四,求非线性目标函数的最值例4、已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是()A、13,1B、13,2C、13,45D、13,255xyOxyO22x=2y=2x+y=2BA2x+y–6=0=5x+y–3=0OyxABCMy=22x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA2x+y=5x–y+5=0Oyxx=3解:如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方,即为45,例5,已知变量x,y满足约束条件x-y+2≤0,x≥1,x+y-7≤0,则yx的取值范围是().(A)[95,6](B)(-∞,95]∪[6,+∞)(C)(-∞,3]∪[6,+∞)(D)[3,6]解:yx是可行域内的点M(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率,当直线OM过点(52,92)时,yx取得最小值95;当直线OM过点(1,6)时,yx取得最大值6.四、求线性目标函数中参数的取值范围例6、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx,使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A、-3B、3C、-1D、1解:如图,作直线l:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选D例7、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的取值范围是()A、(-3,6)B、(0,6)C、(0,3)D、(-3,3)解:|2x-y+m|<3等价于230230xymxym由右图可知3330mm,故0<m<3,选C均值不等式应用一.均值不等式1.(1)若Rba,,则abba222(2)若Rba,,则222baab(当且仅当ba时取“=”)2.(1)若*,Rba,则abba2(当且仅当ba时取“=”)(2)若*,Rba,则22baab(当且仅当ba时取“=”)3.若Rba,,则2)2(222baba(当且仅当ba时取“=”)注:(1)两个正数“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三等”O2x–y=0y2x–y+3=03技巧一:凑项例1:已知54x,求函数14245yxx的最大值。解:5,5404xx,11425434554yxxxx231当且仅当15454xx,即1x时,上式等号成立,故当1x时,max1y。技巧二:凑系数例2.当时,求(82)yxx的最大值。解:由知,,当,即x=2时取等号当x=2时,(82)yxx的最大值为8。技巧三:分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。解:当,即时,年(当且仅当x=1时取“=”号)。技巧四:在应用基本不等式时,若等号取不到,应结合()afxxx的单调性例4:求函数2254xyx的值域。解:令24(2)xtt,则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt,但1tt解得1t不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。∵1ytt在区间1,单调递增,∴在其子区间2,为单调递增函数,故52y。技巧五:整体代换:例5:正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是解:130,035)15513133121331234(34))()2555555555xyxyxyyxxyxyxyxyyxyxyx由得(((当且仅当31255xyyx时取等号),∴3x+4y的最小5例6:正数x,y满足x+3y=5xy,求xy的最小值解:∵x>0,y>0,则5xy=x+3y≥23xy523xyxy1225xy当且仅当x=3y时取等号.xy的最小值为12254练习:1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.(1)231,(0)xxyxx(2)12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx(4)若Ryx,且12yx,求yx11的最小值(4)44loglog2xy,求11xy的最小值2.203x,求函数(23)yxx的最大值.3,已知a0,b0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值4,已知0,0xy且191xy,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。
本文标题:线性规划和基本不等式常见题型
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