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1/7中考数学动点几何问题※动点求最值:两定一动型(“两个定点,一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点)例1、以正方形为载体如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形内,在对角线AC上有一动点P,使PD+PE的值最小,则其最小值是例2、以直角梯形为载体如图,在直角梯形中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,当PA+PD取得最小值时,△APD中AP边上的高为一定两动型(“一个定点”+“两个动点”)例3、以三角形为载体如图,在锐角△ABC中,AB=4√2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点,则BM+MN的最小值是例4、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上的一动点.连接BP,EP,则PB+PE的最小值是例5、⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上的一动点,PA+PC的最小值是例6、如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值是.例7:在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC的面积;(2)现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半?(3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少?ACB2/7例8:如图(3),在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.(1)求边的长;(2)当为何值时,与相互平分;(3)连结设的面积为求与的函数关系式,求为何值时,有最大值?求最大值?※动点构成特殊图形例9、如图,在RtABC△中,9060ACBB°,°,2BC.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CEAB∥交直线l于点E,设直线l的旋转角为.(1)①当度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为;②当度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为;(2)当90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.例10、如图1,在等腰梯形ABCD中,ADBC∥,E是AB的中点,过点E作EFBC∥交CD于点F.46ABBC,,60B∠.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PMEF交BC于点M,过M作MNAB∥交折线ADC于点N,连结PN,设EPx.①当点N在线段AD上时(如图2),PMN△的形状是否发生改变?若不变,求出PMN△的周长;若改变,请说明理由;ABCD906DCABAAD∥,°,4DCBC34i∶,PAABBQBBCDDtBCtPCBQPQ,PBQ△y,ytty图(3)CDABQPEOECBDAlOCBA(备用图)3/7②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使PMN△为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.例11、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.90AEF,且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证AMEECF△≌△,所以AEEF.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.ADEBFC图4(备ADEBFC图5(备ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM(第25ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图34/7ABOCDPQ例12、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=53,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.※利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。例13:如图,已知ABC△中,10ABAC厘米,8BC厘米,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.①点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD△与CQP△是否全等,请说明理由;②若Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当Q的运动速度为多少时,使BPD△与CQP△全等?(2)若Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC△三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇?例14:(如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?OAPDBQCAQCDBP5/7例15如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(0x),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.(1)x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如不能,请说明理由.课下练习:1.直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.(1)直接写出两点的坐标;(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;(3)若,求的坐标,并直接写出点为顶点的平行四边形第四个顶点的坐标.2.已知:等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止),过点MN、分别作AB边的垂线,与ABC△的其它边交于PQ、两点,线段MN运动的时间为t秒.364yxAB、PQ、OAQOAPOBAAB、QtOPQ△SSt485SPOPQ、、MxAOQPByABDCPQMN(第25题)6/7(1)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积;(2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.3.如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD=433,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标;(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且ABBD=85,求这时点P的坐标。CPQBAMN7/75.已知:如图①,在RtΔABC中,∠C=900,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0t2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥BC?(2)设ΔAQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtΔABC的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)如图②,连接PC,并把ΔPQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.图①BAQPCH
本文标题:初二几何之动点问题
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