7.1-平面向量的概念及线性运算教案

第7章平面向量（教案）【课题】7.1平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作a，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为a的倍．由此得到abab∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题介绍了解0第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间7.1平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1播放课件引导分析观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aAB第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间模为1的向量叫做单位向量．*巩固知识典型例题例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a与b．图7-3说明强调引领讲解说明强调含义观察思考主动求解通过例题进一步领会13*运用知识强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量(小方格为1)．提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情况18abAKTK图7−4ABCDEFHGMNQPLZ第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间*创设情境兴趣导入观察图7−4中的向量AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量的方向相反．播放课件质疑引导分析观看课件自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点20*动脑思考探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．【想一想】图7−4中，哪些向量是共线向量？总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结23*动脑思考探索新知【新知识】图7−4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作a．规定：零向量的负向量仍为零向量．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间显然，在图7－4中，AB=MN，GH=－TK．*巩固知识典型例题例2在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．（1）找出与向量DA相等的向量；（2）找出向量DC的负向量；（3）找出与向量AB平行的向量．分析要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解由平行四边形的性质，得（1）CB=DA；（2）BA=DC,CDDC；（3）BA//AB,DC//AB，CD//AB．说明强调引领讲解说明引领强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解通过例题进一步领注意观察学生是否理解知识点反复强调+33*运用知识强化练习1．如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出（1）与EF相等的向量；（2）与AD共线的向量．2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出（1）与OC相等的向量；（2）OC的负向量；（3）与OC启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳FADBEC（练习题1．1．1第2题图）第1题图EFABCDO（图1－8）第2题图ADCB图7－5O第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间共线的向量．38*创设情境兴趣导入王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200m到达学校（C处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）．播放课件质疑引导分析观看课件自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点42*动脑思考探索新知位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作AB=a,BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b，即a＋b=AB＋BC=AC（7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向总结归纳仔细分析讲解思考归纳理解记忆带领学生总结ABC图7－6500m200m图7－7ACBaba+bab第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点．【做一做】给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．【想一想】（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？关键词语50*动脑思考探索新知如图7－9所示，ABCD为平行四边形，由于AD=BC，根据三角形法则得AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形ABCD中，AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结55*巩固知识典型例题例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．图7－9ADCB第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间解如图7－10所示，AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然22ADABAC=22125=13．又512tanCAD，利用计算器求得6723CAD1．即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723．*例4用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F与2F的大小．分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是，所以12FF．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12FFk.解利用平行四边形法则，可以得到1212cosFFFk，所以12coskF．【想一想】说明强调引领讲解说明引领分析观察思考主动求解观察思考求解领会注意观察学生是否理解知识点反复ABDC图7－10F1F2k图7－11第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图7-12讲解说明思考求解强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b=_____________,（2）b＋c=_____________,（3）a＋b＋c=_____________．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．设a=OA，bOB，则()=OAOBOAOBOABOBOOABA．即OAOB=BA（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结68*巩固知识典型例题例5已知如图7－14（1）所示向量a、b，请画出向量a－b．解如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作OA=a，OB=b，连接BA，则向量BA为所求的差向量，即BA=a－b．【想一想】强调含义说明思考求解领会思考求解注意观察学生是否理解知识点70aAa-bBbO图7－13BbOaAba（1）（2）图7－14第7章平面向量（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间当a与b共线时，如何画出a－b．*运用知识强化练习1．填空：（1）ABAD=_______________，（2）BCBA=______________，（3）ODOA=______________．2．如图，在平行四边形ABCD中，设AB=a,AD=b，试用a,b表示向量AC、BD、DB．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳72*创设情境兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC与向量a共线，并且OC＝3a．图7−15质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考74*动脑思考探索新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为||||||aa（7．3）若||a0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0时，总结归纳思考归纳带领学生分析aaa