13.3.2等腰三角形的判定(第2课时)

一、定义：(三线合一)知识回顾有两边相等的三角形是等腰三角形。二、性质1：等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)三、性质2：等腰三角形的底边上的中线和高线、顶角平分线互相重合。13.3.2等腰三角形的判定操作：ACB画△ABC.使∠B＝∠C＝70°，量一量，线段AB与AC的长度。AB=AC如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。可以发现：结论：ABCD12已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC证明:作∠BAC的平分线AD∴∠1=∠2在△BAD和△CAD中∠B=∠C(已知)∠1=∠2(已证)AD=AD(公共边)∴AB=AC∴△BAD≌△CAD(AAS)你还有其他证法吗?证明：作AD⊥BC，垂足为D则∠ADB=∠ADC=900在△BAD和△CAD中，∠B=∠C(已知)∠ADB=∠ADC(已证)AD=AD(公共边）∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB=AC已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC□ABCD□ABC如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。几何语言：∵∠B=∠C(已知)∴AB=AC(等角对等边)等腰三角形的判定定理：(简写成“等角对等边”)。例1.已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.证明：∵DE∥BC∴∠1=∠B,∠2=∠C∵∠1=∠2∴AD=AE(等角对等边)∠B=∠C(等量代换)∴AB=AC(等角对等边)∴AB-AD=AC-AE即：BD=CEBCEAD21例2.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC求证：AB=ADABCD证明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB(等量代换)∴AB=AD(等角对等边)∴AB=AC(等角对等边)例3.已知：在△ABC中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD平分∠BAC。求证：AD⊥BCABCD1234证明：∵∠1=∠3,∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4即：∠ABC=∠ACB∴AB=AC(等角对等边)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AD是等腰△ABC顶角的角平分线∴AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)例4.如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NAC=40°，∠NBC=80°∴∠C=∠NBC-∠NAC=80°-40°=40°∴∠C=∠A∴BA=BC（等角对等边）∵AB=20×（12-10）=40（海里）∴BC=40（海里）答：B处到达灯塔C的距离为40海里。80°40°NBAC北例5.在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.求证：EF=BE+FC∴∠2＝∠ABO，∠3＝∠ACOOABCEF证明：ABCOEF1324∵EF∥BC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠1＝∠ABO，∠4＝∠ACO∴BE＝EO，FC=FO(等角对等边)∵EF=EO+FO∴EF＝BE+FC变式：若AB≠AC，其他条件不变，结论还成立吗？例6.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC求证：AB=AC分析：要证AB=AC就要证∠B=∠C而已知有∠1=∠2，∵AD∥BC∴∠1=∠B，∠2＝∠C∴∠B＝∠C∴AB=AC证明：∵AD∥BC∴∠1=∠B∠2=∠C∵∠1=∠2∴∠B=∠C∴AB=ACEBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC•今天作业•数学作业本P26页第2、5题