5.16微积分在其他学科中的应用

绥化学院本科毕业设计（论文）微积分在其它学科中的应用学生姓名：刘春梅学号：201052871专业：数学与应用数学年级：2010级指导教师：刘一讲师SuihuaUniversityGraduationPaperCalculusApplicationsinotherDisciplinesStudentnameLiuChunmeiStudentnumber201052871MajorMathematicsandAppliedMathsSupervisingteacherLiuYiSuihuaUniversity摘要II微积分不仅在数学里是十分重要的内容，而且在其它学科中也有着非常重要的应用．本文首先介绍了微积分的发展及其基本定义，然后介绍导数在经济学中边际分析和弹性理论中的应用，以及利用积分的知识解决经济学中总函数的求解和消费者剩余的测算等问题．最后介绍微积分在几何学中的应用，包括利用导数解决切线问题和距离极值问题，利用积分求几何图形的面积，曲线长度，几何体的体积等几何问题，正是有了微积分的加入才使得其它学科的理论更加严格和完善．关键词：微积分；经济学；几何学AbstractIIICalculusinmathematicsisnotonlyveryimportantcontent,butalsohastheveryimportantapplicationinotherdisciplines.Inthispaper，wefirstintroducesthedevelopmentofcalculusanditsbasicdefinition.Then,weintroducetheapplicationofderivativeineconomicmarginalanalysisandelastictheory,andhowtousetheknowledgeoftheintegraltosolvefunctionineconomicsandthecalculationofconsumersurplus.Finally,weintroducestheapplicationofcalculusingeometry,includingtheuseofderivativeextremumproblems,solvetheproblemofthetangentandthedistancebyusingintegralgeometry,theareaofcurvelength,geometrysizeoftheproblem,Itistheadditionofcalculusandotherdisciplineshasthetheorymorestrictandperfect.Keywords:Calculus;economics;geometry目录IV摘要.....................................................................................................................................IIAbstract..................................................................................................................................II第1章微积分的发展及其相关定义..................................................................................1第1节微积分的发展........................................................................................................1第2节微分的相关定义....................................................................................................2第3节积分的相关定义....................................................................................................3第2章微积分在经济学中的应用......................................................................................5第1节导数在经济学中的应用........................................................................................5第2节积分在经济学中的应用......................................................................................14第3章微积分在几何中的应用........................................................................................18第1节导数在几何中的应用..........................................................................................18第2节积分在几何中的应用..........................................................................................19结论....................................................................................................................................23参考文献................................................................................................................................24致谢....................................................................................................................................25绥化学院2014届本科生毕业论文1第1章微积分的发展及其相关定义第1节微积分的发展微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期．微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，积分与微分的互逆关系，最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献．微分和积分的思想早在古代就已经产生了．公元前3世纪古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想．作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”．他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形．圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为极限思想的佳作．意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的．这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备．微积分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的．而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到．北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究．到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质．他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上．他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知绥化学院2014届本科生毕业论文2数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系．此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚．于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来．笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间．17世纪以后，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究．前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分．1605年5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志．牛顿关于微积分的著作很多写于1665-1676年间，但这些著作发表很迟．他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼莱公式．微积分的产生是数学上的伟大创造．它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展．如今微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具．如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一．第2节微分的相关定义2.1极限定义1设函数)(xf在点0xx的某一空心邻域内有定义，A为一常数，若任给0，总存在0，使得当||00xx时，都有|)(|Axf成立，则称A为函数)(xf当0xx时的极限，记作[3]Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf．2.2一阶微分定义2设函数)(xFy在某区间内有定义，0x及xx0在此区间内．如果函数绥化学院2014届本科生毕业论文3的增量0()yfxx可表示为：()yAxox（其中A是不依赖于x的常数），而()ox是比x高阶的无穷小，那么称函数()fx在点0x是可微的，且xA称作函数在点0x相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dyAx[1]．通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即dxx．于是函数()yfx的微分又可记作()dyfxdx．函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数．因此，导数也叫做微商．几何意义设x是曲线()yfx上的点M的在横坐标上的增量，y是曲线在点M对应x在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应x在纵坐标上的增量．当||x非常小