自动控制原理3.1 一阶系统时域分析

引言在建立系统的数学模型基础上，可以采用各种方法对系统进行分析或设计。由于多数控制系统是以时间作为独立变量，所以人们往往关心输出对时间的响应。对系统施加一输入信号，通过研究系统输出的时间响应来评价系统的性能，这就是控制系统的时域分析。时域分析法的特点是准确、直观。第三章线性系统的时域分析法3-1系统时间响应的性能指标3-2一阶系统的时域分析3-6线性系统稳态误差的计算3-3二阶系统的时域分析3-4高阶系统的时域分析3-5线性系统的稳定性分析1、选取原则（1）在现场或实验中容易获取；（2）控制系统在典型信号作用下的性能代表在实际工作条件下的性能。（3）数学表达式简单，便于理论分析。一、典型外作用（典型输入信号）3-1系统时间响应的性能指标表示在t=0时刻出现了幅值为R的跳变，是最不利的外作用。R=1时的阶跃函数叫单位阶跃函数，常用1(t)表示。常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型外作用。所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着特别重要的作用。2、典型输入信号（1）阶跃函数0,00,)(ttRtrr(t)tR1[1(t)]=Ls0,00,)(ttRttr(2)斜坡函数（也叫速度函数）tr(t)0当R＝1时,称r(t)=t为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R,所以斜坡函数代表匀速变化的信号。21[t]=Ls0,00,21)(2ttRttr(3)加速度函数式中，R为常数。当R＝1时,称r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为d2r(t)/dt2=R,所以加速度函数代表匀加速变化的信号。tr(t)0231[]=2tLs(4)脉冲函数脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定义0()00Athrthtth或tr(t)0Ahhδ(t)式中,h称为脉冲宽度,脉冲的面积为A。若h→0,A=1,则有000)()(tttrt称此函数为单位脉冲函数,又称δ函数。t0[(t)]=1L(5)正弦函数ωtr(t)0A)sin()(tAtr式中,A为振幅,ω为角频率。22[sin()]Lts二、动态和稳态过程2、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。动态过程包含了系统的稳定性、快速性、平稳性等信息。1、典型信号作用下的系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成3、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋向无穷时，系统输出量的表现形式。稳态过程包含系统的稳态误差等信息。与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。动态性能指标是在单位阶跃信号作用下定义的。1、延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。2、上升时间tr：对于有振荡的系统，定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。对于非周期过程，指响应曲线从终值10%上升到终值90%所需要的时间；上升时间是系统响应速度的一种度量。h(t)t上升时间tr调节时间ts3、峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。4、调节时间ts：指响应达到并保持在△=±5%c(∞)（或±2%c(∞)）内所需要的时间。5、超调量σ%：指响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差的百分比，即：()()%100%()pctcc以上各性能指标中，上升时间tr和峰值时间tp描述系统起始段的快慢；超调量σ%反映系统过渡过程的平稳性；调节时间ts表示系统过渡过程的持续时间，总体上反映系统的快速性。6、稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。对于单位负反馈系统，稳态误差ess定义为：)]()([limsstctret稳态误差ess反映系统输出复现输入信号的最终精度。例题：加入给定值阶跃量为2.4，响应曲线如图所示，求超调量。2.72.50.30t/sc(t)()()%100%()pctcc2.72.5%100%8%2.53-2一阶系统的时域分析一、一阶系统数学模型11)()()()()()(TssRsCstrtcdttdcT微分方程：闭环传递函数：＋－Ts1R(s)E(s)C(s)(a)(b)11TsR(s)C(s)标准形式二、一阶系统单位阶跃响应1()1(),()rttRss1111()()()11(1)()TCssRssTsssssTT1001tTctecc()(),()11()(0)tTctecTTt0T2T3T4T5T…∞c(t)00.6320.8650.9500.9820.99311001tTctecc()(),()c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/Th(t)=1-e-t/T0tT2T3T4T1单位阶跃响应曲线11()(0)tTctecTT性能指标：（1）延迟时间：td=0.69T（2）上升时间：tr=2.20T（3）调节时间：ts=3T(△=0.05)（4）稳态误差ess:105dtTdcte().121221101109tTtTrctectettt().().1095stTscte().时间常数T反映系统的快速性110sserc()()解:(1)•与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s例3.1某一阶系统如图,(1)当Kh=0.1时求调节时间ts,(2)若要求ts=0.1s,10/110101001.0)/100(1/100)()(1)()(sssssHsGsGs•(2)•要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即,得hhhKsKsKss100/1/1/1001/100)(31.01001hK3.0hK0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)求反馈系数Kh.•解题关键：化闭环传递函数为标准形式。Kh二、一阶系统单位脉冲响应1)()()(sRttrTsTTssRssC/1/111)()()()0(1)(1teTtctTt0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为0.368/T0.05/T0t/TeTtc1)(T1c(t)单位脉冲响应曲线21T21()()rttRss2211()()()1(1)TTCssRssTssssTTtTeTtsCLtc/1)]([)(三、一阶系统单位斜坡响应)1()()()(1tTeTtctrteTteetss)(lim一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差。221)(ttr31()Rss2233232111()()()()111ABCDTTTCssRsTssssssssssTT)0()1(21)(122teTTtttctT)1()()()(12tTeTTttctrte上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。四、一阶系统单位加速度响应表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t0tTeTtTt0)1(2122teTTttTt01teTt)0(1teTTt)(tS121S31S221t11TS等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数,该特性适用于所有线性定常系统。因此,研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号进行测定和计算,往往以一种典型输入进行研究。