中学数学竞赛讲座及练习(第43讲)根与

第四十三讲根与系数的关系及应用如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．1．已知一个根，求另一个根利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．例1方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．解先求出a，b．由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．所以a-b=1-(-1999)=2000．例2设a是给定的非零实数，解方程解由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于2．求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．例3已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：(3)α3＋β3；(4)α3-β3．解由韦达定理知α+β=3，αβ=1．(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)=(α-β)[(α+β)2-αβ]例4设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．解因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以4α2-2α-3＝0，即4α2=2α＋3．4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．例5已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．解由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以α2+α-1=0，β2+β-1=0，即α2=1-α，β2=1-β．α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α=-3(1-α)+2α=5α-3，β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．说明此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．例6设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．解设x1，x2是方程的两个实根，于是所以as3＋bs2＋cs1=0．说明本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．另解因为x1，x2是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3＋bs2＋cs1＝0．3．与两根之比有关的问题例7如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k＋1)2ac．证设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得即kb2＝(k＋1)2ac．例8已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2＝0解首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即m2-6m+5=0，所以m1=1，m2=5．4．求作新的二次方程例9已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．解设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x＋34=0．例10设x2-px＋q=0的两实数根为α，β．(1)求以α3，β3为两根的一元二次方程；(2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．解(1)由韦达定理知α+β=p，αβ=q，所以α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)，α3·β3=(αβ)3=q3．所以，以α3，β3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0．(2)由(1)及题设知由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，以，符合要求的方程为x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0．5．证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合．例11已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y．证因为x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式△=36-4(z2+9)=-4z2≥0，即z2≤0．因z为实数，显然应有z2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y．例12若a，b，c都是实数，且a＋b＋c=0，abc=1，证由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c是方程的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式因为a＞0，所以a3-4≥0，a3≥4，例13知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．解(1)显然a≠0，由△=16a2-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韦达定理知所以所以a=9，这与a＜0矛盾．故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．练习八1．选择：(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是[](A)△＞M(B)△=M(C)△=＜M(D)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则[](A)-4(B)8(C)6(D)0为[](A)3(B)-11(C)3或-11(D)112．填空：(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是______．(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_______．(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+a-4的末位数是______．另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=______．3．已知α，β是方程x2-x-1=0的两个实数根，求α4+3β的值．4．作一个二次方程，使它的两个根α，β是正数，并且满足关系式5．如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为4∶5，方程的判别式的值为3，求a，b的值．