必修4高三数学第2章_平面向量向量的数量积复习课件

高三数学组倪杰2020年4月27日星期一4OBAFEDC2？？书山有路勤乐径，学海无涯苦趣舟。书到用时方恨少，事非经过不知难。名句欣赏3背景平面向量几何表示符号表示坐标表示向量的运算加法数量积向量的应用数乘减法第二章平面向量知识网iiiii4已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ,我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作:a·b=|a|·|b|cosθ.同时规定:0与任何向量的数量积为0，即0·a=0.2.4向量的数量积对于两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做向量a和b的夹角.特别地，当向量a和b的夹角分别等于00，1800和900时，两个向量分别是同向、反向和垂直，向量a与b垂直，记作a⊥b.(1)ba(2)ba(3)┐ba001800900注意上述定义中两向量必须是同起点的.5设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量的积满足下列运算率:①a·b=b·a；②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b；③(a+b)·c=a·c+b·c.(数乘结合律)(交换律)(分配律)当a，b同向时，a·b=|a|·|b|；a，b反向时，a·b=－|a|·|b|.说明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c).(2)a·c＝b·c，c≠0a＝b.¿(3)有如下常用性质：a2＝|a|2；(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.6对定义的诠释:①尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了，一般地,它已经不具有“求功”的具体意义.在引入向量的数量积以后，物理学中功的概念就可以用②两个向量数量积是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算(向量)是不同的.数学语言表述为:功就是在力F与其作用下物体产生的位移s的数量积，即W=F·s.③注意:0·a=0，等式右边的零是一个实数，而不是零向量；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.7数量积的重要性质③当a与b同向时，a·b＝|a||b|当a与b反向时，a·b＝－|a||b|a⊥bx1x2+y1y2=0；⑤｜a·b｜≤|a||b|cos||||abab④2aaa特别地，a·a＝|a|2或|a|＝设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角.①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0②a⊥ba·b＝0即a//b|a·b|＝|a||b|；22|a|xy.221212AB=(xx)(yy)121222221122xxyycos.x+yx+ya//bx1y2－x2y1=0；a//ba=λb；8B1OABθabOABθab|b|cosθ叫做向量b在a方向上投影，它是数量，当是θ锐角时，OB1与a同向，投影为正值；当是θ钝角时，OB1与a反向，投影为负值;当a与b互相垂直时，投影为0.OABθabB1由此可知a·b的几何意义是:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积；或等于b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cosθ的乘积.向量b在a方向上投影91.判断下列命题的真假，并简要说明理由.①向量的数量积可以是任何实数.②若a=0，则对任何向量b，有a·b=0.③若a≠0，则对任何向量b，有a·b≠0.④如果a·b0，那么a与b的夹角为锐角.⑤若a≠0，a·b=0，则b=0.⑥若b≠0，a·b=b·c，则a=c.真假假假假假真真⑦若a·b＝|a||b|，则a//b.⑧若|a+b|=|a－b|，则a⊥b.假⑨|a·b|＝|a||b|；|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a|·|b|；应用举例10假⑩对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；2⑩举反例如下:已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b夹角是600，b与c夹角是450，则：(a·b)·c＝(|a||b|cos600)·c＝c，a·(b·c)＝(|b||c|cos450)·a＝a而c≠a，故(a·b)·c≠a·(b·c).对于⑩若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.2.已知|a|=4，|b|=6，a与b的夹角为600，求(1)a·b；(2)a·(a+b)；(3)(2a－b)·(a+3b).(1)12；(2)28；(3)－16.113.已知向量a与b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3，分别在下列条件求a·b:(1)θ=1350；(2)a//b；(3)a⊥b.解:(1)a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos1350=－32.(2)当a//b时，则θ=00或1800，若θ=00，a·b=|a||b|=6；若θ=1800，a·b=－|a||b|=－6.(3)当a⊥b时，a·b=0.4.已知正△ABC的边长为2，设BC=a，CA=b,AB=c，求a·b+b·c+a·cABCacb解a·b=|a|·|b|cosθ=4×cos1200=－2.同理b·c=|b|·|c|cosθ=4×cos1200=－2.a·c=|a|·|c|cos1200=－2.=－6.12ABDC解(1)因为AD//BC且方向相同，所以AD与BC夹角是00.所以AD·BC=|AD||BC|cos00=3×3×1=9.5.在在平行四边形ABCD中，已知|AB|=4，|AD|=3，∠DAB=600，求(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·DA.(2)因为AB//CD，且AB与CD方向相反的，所以夹角是1800.所以AB·CD=|AB||CD|cos1800=4×4×(－1)=－16.(3)因为AB与AD的夹角是600，所以AB与DA的夹角为1200.∴AB·DA=|AB||DA|cos1200=4×3×(－0.5)=－6.120013解因为a·b=2×3+(－1)×(－2)=8，a2=22+(－1)2=5，b2=32+(－2)2=13，所以(3a－b)·(a－2b)=3a2－7a·b+2b2=3×5－7×8+2×13=－15.6.已知a=(2，－1)，b=(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b).7.求出下面各组两个向量a，b的夹角.(1)a=(，1)，b=(,2)，(2)a=(1，1)，b=(1－,1+)，3323312006008.设向量a，b满足|a|=8，|b|=3，a·b=12，求a与b的夹角.600149.已知直线l1:x－2y=0，和l2:x+3y=0，求直线l1和l2的夹角.解在l1上取两点，如(2，1)，(0，0)，记向量a=(2，1)－(0，0)=(2，1)；在l2上取两点，如(3，－1)，(0，0)，记向量b=(3，－1)－(0，0)=(3，－1).设a与b的夹角为θ，可知.ab231(12cos.2|a||b|510）所以θ=，即直线l1和l2的夹角为.44几分耕耘，几分收获！1514,15k故k×52+(2k－1)×5×4×cos600－2×42＝0，所以，当时，(ka－b)⊥(a+2b).1415k即ka2+（2k－1)a·b－2b2＝0，∴(ka－b)·(a+2b)＝0，10.已知|a|=5，|b|=4，且a与b的夹角为600，问当且仅当k为何值时，使(ka－b)⊥(a+2b)？解：∵(ka－b)⊥(a+2b)，练习设A(－2，1)，B(6，－3)，C=(0，5)，求证:△ABC是直角三角形.AB·AC=0=AB⊥AC.1611.在△ABC中，设AB=(2，3)，AC=(1，k),且△ABC是直角三角形，求k的值.分析题中未明确哪个角是直角，所以要讨论.解若∠A=900，则AB⊥AC，于是2×1+3×k=0.解得2k;3若∠B=900，则AB⊥BC，又BC=AC－AB=(－1，k－3)，故得2×(－1)+3×(k－3)=0.解得11k;3若∠C=900，则AC⊥BC，故2×(－1)+3(k－3)=0.解得313k.2所求的k值为211313.332或或17则由已知条件，可得1OD(1,),2ODOEcosDOE=|OD||OE|∠1111422.555221OE=(1)2，解以OA和OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示.12.已知正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，求∠DOE的余弦值.ABCDEOxy13.已知b⊥a且|b|=2，求向量b的坐标.a=(35)，，解设B(x，y)则223x5y=0,xy4+且，1062210622（-，）或（，-）.1814.设a=(1，2)，b=(－3，2)，求(1)|a+b|和|a－b|；(2)k为何值时，向量ka+b与a－3b垂直？(3)k为何值时，向量ka+b与a－3b平行？(2)ka+b=(k－3，2k+2)，a－3b=(10，－4)，解(1)|a+b|=2，|a－b|=4；5∵(ka+b)(a－3b)=2k－38=0，∴k=19；(3)－4(k－3)=10(2k+2)，∴k=－1.315.设a=(x，3)，b=(2，－1)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围.2ab2x3cos|a||b|x+95-=，解∴2x－30,x≠－6,∴x1.5且x≠－6.因为θ为钝角，所以cosθ0，cosθ≠－1，1916.如图，设点A和B为抛物线y2=4x上除原点外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.ABM(x，y)Oxy解设M(x，y)，A(4t12，4t1)，B(4t22，4t2)，其中x0，t1≠t20且t1≠t2，所以OA=(4t12，4t1)，OB=(4t22，4t2)，OM=(x，y)，AB=(4(t22－t12)，4(t2－t1)).因为OA⊥OB，所以(4t12)(4t22)+(4t1)(4t2)=0，由于t1t2≠0，可知t1t2=－1①因为OM⊥AB，所以x(4t22－t12)+y(4t2－4t1)=0，由于t1≠t2，可知t1+t2=－②yx20又因为A，B，C三点共线，所以AM//BM.而AM=OM－OA=(x－4t12，y－4t1)，BM=OM－OB=(x－4t22，y－4t2)，由向量共线充要条件，可知(x－4t12)(y－4t2)－(y－4t1)(x－4t22)=0，化简得x－(t1+t2)y+4t1t2=0③将①、②代入③，可得(x－2)2+y2=4(x0)，它表示与轴切于原点的一个圆(不包括原点).xyO(2，0)说明由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以，在向量与解析几何知识的交汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.基本思路将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化运算.2117.四边形ABCD中，AB=(6，1)，BC=(x，y)，CD=(－2，－3)，(1)若BC//DA，试求x与y满足的关系式；(2)满足(1)的同时又有AC⊥BD，求x，y的值及四边形ACBD的面积.解BC=(x，y)，DA=－AD=－(AB+BC+CD)=－(x+4，y－2)=(－x－4，－y+2).(1)因BC//DA，则有x(－y+2)－(－x－4)=0，化简得x+2y=0.(2)AC=AB+BC=(x+6，y+1)，BD=(BC+CD)=(x－2，y－3)又AC⊥BD，则=(x+6)(x－2)+(y+1)(y－3)=0，22化简得x2+y2+4x－2y－15=0.22x+2y=0x=6x=2y=3y=1x+y+4x2y15=0解得或联立ACBD因BC//AD，|BC|≠|AD|，AC⊥BD，故四边形ABC