第3章 结构可靠度计算

ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算1第3章结构可靠度计算杨春侠长沙理工大学土木工程学院ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算2设结构功能函数为：),,(21nXXXgZ3.1中心点法一、计算公式12,,nXXX是表示影响结构可靠度因素的随机变量，简称基本变量。1122,,,,,nnXXXXXX是基本变量的统计参数。12(,,)nXXXM称为中心点。ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算3121,,,ninXXXiXiiMgZgXX在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取线性项：则功能函数Z的平均值和标准差为1221,,,niZXXXnZXiiMggXChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算4则按下式近似确定可靠指标niXiXXXZZiXnXgg12,,,21因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算5二、公式的应用例题3-1一圆截面直杆，承受拉力P=100kN，基本变量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。材料强度设计值fy杆的直径d功能函数为290Mpa,25Mpayyffd30mm,3mmd22(1)(,)44(2)(,)yyyyZgfddfPPZgfdfPdChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算6解：222222,(1)()()42.35()()42yyyyyfdMfMdydfdfdfdgggfdPChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算7222223,(2)()()48(1)()3.93yyyyfdMfMdyfdfddgggfdPP说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式。ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算8三、中心点法的评价1、中心点法的优点直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即可计算可靠指标值；若值β较小，即Ｐf值较大时，Ｐf值对基本变量联合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf值大致在同一个数量级内；对正常使用极限状态尤为适用(＝1～2)。ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算92、中心点法的缺点：算得的与结构功能函数的形式有关；没有考虑基本变量的实际分布；对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值处按泰勒级数展开不尽合理；当失效概率pf10-3时(相应的3.09)，Z的分布类型不同将会导致pf值在几个数量级的范围内波动，中心点法失效。ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算103.2验算点法一、验算点法的两点改进R.Rackwitz和B.Fiessler等人提出验算点法。（１）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过Z＝0上的某一点P*(x1*,x2*,·····,xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法中的误差。（２）当基本变量xi具有分布类型的信息时，将Xi的分布在验算点P*处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态分布，从而在β中合理地反映了分布类型的影响。ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算11二、计算公式1、设极限状态方程为：12(,,)0nZgXXX12,,nXXX基本变量服从正态分布，统计参数已知。2、空间变换：iiiXiXXUX空间（正态空间）U空间（标准正态空间）ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算12验算点转换为****12(,,,)nPXXX****12ˆ(,,,)nPUUUX空间的功能函数12()(,,,)nZgXgXXX转换为U空间功能函数12ˆ()(,,,)nZgUgUUU12(,,,)nXXXX12(,,,)nUUUUChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算13极限状态超曲面过验算点的超切平面方程为ˆ()0ZgU*****121ˆ(,,,)()0nniiiiPggUUUUUUˆ0Z*ˆP***12(,,,)0ngUUU**1ˆ()0niiiiPgUUU3、U空间的可靠指标因为为极限状态超曲面上的点，则超切平面方程化简为ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算14*1u*2u1U2U验算点切线极限状态曲线1U2U*ˆPO可靠指标的几何意义U空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P*(u1*,u2*,····,un*)即为验算点。***1ˆ21ˆniiiPniiPgUUgUChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算15i令**ˆ21ˆiPiniiPgUgU是的方向余弦*ˆOPcosiiU*cosiiUiUiiXiiiiXgggUXUX**21iiXiPinXiiPgXgXX空间的方向余弦式3-1ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算16因为**iiiXiXXU**iiiiiXiXXiXXU***12(,,,)0ngXXX4、X空间的验算点所以运用迭代法按式3-1、3-2和3-3求解可靠指标。式3-2式3-3ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算17三、当量正态化iXix()iXifxiX'iX*ix'**()()iiXiiXfxfx'**()()iiXiiXFxFx非正态分布概率密度函数iXiX()iXifxiXeiX当量正态分布概率密度函数'iX'X'()iiXfxeiXChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算181、当量正态化条件''*1*()iiiiXiXXxFx'''*1***11[(())]()()iiiiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx……………(3-4)……………(3-5)''**()iiiiXXiXxFx'''**1()iiiiiXXiXXxfxChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算19'**2**ln1lnlnln(1)1lniiiiXiiXXiiXxxxx'*2*lnln(1)iiiiXXiXxx……………(3-6)……………(3-7)2、对数正态分布当量正态化ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算201()0Xaxbfxbaotherwise≤≤1、均匀分布2Xab22()12Xba1baab()XfxX0xab()XFx010.5x常见概率分布类型ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算21()Xfx()XFxXxx0010.5211()exp[()]22XXXXxfx()u()u211()exp[()]22uu2、正态分布ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算22()u0()uu010.5uXXXU()XXXxFx()()1XXXXXXXxddfxFxdxdxx3、标准正态分布ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算23()()(lnln)()()XYFxPXxPXxPYyFy≤≤≤()Xfx0xlnyxlnYxlnYx4、对数正态分布lnlnln,~N(,),~LN(,)YYXXYXYX2ln2ln(ln)2ln1()2XXxXfxexlnln()()lnYXYYXXyFxFyxChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算24lnlnlnlnlnln()()ln()1XXXXXXXxddfxFxdxdxxxln2ln1XXX2lnln(1)XXChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算2510()ukkeudu0x≥for()(1)!kk(1)()kkkXk22Xk()Xfxx15、伽马分布1()()()kxXxefxkChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算26x11au()Xfx()()()axeaxXfxee0.5772X1.2825X6、极值Ⅰ型分布()expexp()XFxxChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算27()expkXuFxxx()Xfx1u2k1()expkkXkuufxuxx11Xuk2222111Xukk2kfor1kfor7、极值Ⅱ型分布ChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算28xk≤for1()1Xwwuk22221()11Xwukkx()Xfx5w3k0.5u8、极值Ⅲ型分布()expkXwxFxwuChangshaUniversityofScience&Technology2012结构可靠度计算29x≥for1()1Xuk22221()11Xukkx()Xfx53k0.1u9、极值Ⅲ型分布（威布尔分布）()1expkXxFxw