重庆大学2013-2014学年(秋)数理统计AB试题及答案

重庆大学全日制学术型硕士研究生《数理统计》（A）课程试卷2013-2014学年第一学期（秋）请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.951.65u，0.992.33u，20.95(1)3.841，0.95(3,6)9.78f一、（18分）设1X，2X，…，64X是来自总体N（0，2）的样本，X，2S分别是样本均值和样本方差：（1）求参数c满足{}0.1PXSc；（2）求概率22122234{1}XXPXX；(3)求322321(2)iiiDXXX。(请写出计算过程)解：（1）~(1)nXtnS{}{}0.1nXPXScPncS得0.95(63)nct故1.650.20638c（2）2~(0,)XN22212(/)(/)~(2)XX同理22234(/)(/)~(2)XX2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22XXXXXXFXX22122234{1}{(2,2)1}XXPPFXX且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)FFF得2222121222223434{1}1{1}0.5XXXXPPXXXX(3)令2~(2,2)iiniYXXN，112niiYYXn221()(1)niYiTYYnS3232223211(2)[()]iiiiiDXXXDTDYY2~(0,2(11/))iYYNn2~(0,1)2(11/)iYYNn=32224224221[2(11/)()4(11/)((32))256(11/32)2(11/)iiYYDnnDn二、（26分）设1X，2X，…，nX是来自总体2~(2,)(0)XN的样本，{}0.95PXA。（1）求参数2(2)bA的矩估计量1ˆb；（2）求参数b的最大似然估计量2ˆb，并评价2ˆb的无偏性、有效性、相合性；（3）求参数b的置信度是1的置信区间。（4）试确定检验问题：00100:,:(0)HbbHbbb的检验统计量和拒绝域。解：22~(2,)~(0,1)XXNN220.95{}{}XAPXAP0.952Au即0.952Au（1）2220.95(2)bAu且22()EXEXDX2221111ˆ44nniiiiXXnn2210.9511ˆ(4)niibXun(2)0.952Aub0.95bu2220.952(2)(2)0.95221()22xxubufxee建立似然函数220.951(2)2220.95()(2)niixunnnbLbube220.950.951ln()ln(2)lnln(2)222niiunnLbnubxb2220.9510.95221(2)ln()1(2)()222niiniiixudLbnnxubdbbbbn2220.9511ˆ(2)niibxun无偏性：2222220.950.9520.951ˆ()((2))niiuuEbExnubnn2ˆb是参数b的无偏估计。有效性：2210.9522(2)ln()()()22niixdLbnnubcbdbbnb且仅是b的函数；又220.9521ˆ()((2))niiuEbExbn2ˆb是b的有效估计量。相合性：因为220.951((2))niiuTExn，'()1gb，所以''22()()1()2(),2()cbgbgbbIbDTnbcbn222ˆ()0()bDTDbnn故2ˆTb是b的相合估计量。（3）220.95bub的置信度是1的置信区间既是2的置信度1的置信区间。因均值已知设样本方差为2S，得2置信度为1的置信区间22222222112222(1)(1)6363(,)(,)(1)(1)(63)(63)nSnSSSnnb的置信度是1的置信区间为222220.950.95222210.950.952222(63)(63)(,)6363uuuSuS（4）选择检验统计量：222(1)~(1)nSn；拒绝域22220.950.95222210.950.952222{)6363ouuuSuSK或三、（14分）假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型A与B，它，它们的抗拉强度（2/kgmm）分别服从2(,)AAN与2(,)BBN。由生产过程知其标准差1.2A,1.5B（1）若从A、B两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得AB的0.90的置信区间长度不超过2.5kg/mm2需要多少样本量？(2)给出统计假设0:1.1,1.1ABABH的检验统计量和拒绝域。若对A，B两类加强杆各自独立地抽取了7根，测得抗拉强度的样本均值分别是87.6与74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取0.1）。解：1）设X、Y分别表示铝制加强杆两种类型A、B的抗拉强度，X、Y为样本均值。则X、Y相互独立且2~(,)AAXNn，2~(,)BBXNn22~(,)ABABXYNn0.9522(){}0.90()/ABAAXYPun由题置信区间的长度220.952()/2.5ABun解得样本容量7n。2）由题意知87.6X，74.5Y当0H成立时22~(0.1,()/)BABXYNn拒绝域00.9220.1){}()/BAAXYKun四、（12分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取100只，经检验发现铸造的有10个不合格品，锻造有3个不合格品。试问在显著水平0.05下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？解：根据题意，我们提出如下统计假设：0H：零件的不合格率与制造方法无关；1H：零件的不合格率与制造方法有关。知200,2,0nmr.在显著性水平0.05下，选择检验统计量221()iiiivnpnp，拒绝域为：220.95{(1)3.841}根据原假设，不同制造方法下零件不合格品的理论频数6.5np，2的样本值为222220.951()(106.5)(6.53)1.8846(1)3.8416.56.5iiiivnpnp落在接受域内，故认为零件的不合格率与制造方法无关。五（18分）设样本(,)iixY，1,2,in满足212,~(0,)iiiiYxN。（1）求参数1的最小二乘估计量1ˆ；（2）分析1ˆ的分布；（3）求2EES，其中2211ˆˆˆ(),2,1,2,,.nEiiiiiSYyyxin。解：（1）由题得：2211(2)nEiiiSyx21112(2)nEiiiiSxyx令211102(2)0nEiiiiSxyx得1121(2)ˆniiiiniixyxx（2）1121(2)ˆniiiiniixyxx，2112,~(2,)iiiiiYxYNx由正态分布的性质推知111ˆˆˆ~(,)NED服从正态分布。111111222111(2)[2]2ˆnnnnniiiiiiiiiiiiiinnniiiiiixYxExYxxEYxEExxx11(2)2iiiiEYExx11ˆE22111112222221111(2)[2]ˆ()()nnnniiiiiiiiiiiinnnniiiiiiiixYxDxYxxDYDDxxxx（3）2221111111ˆˆˆ(2)[(2)(2)][(2)]nnnEiiiiiiiiiiiESEYxDYxEYxDYx11111ˆˆˆ[()][()2cov(,)]nniiiiiiiiDYxDYDxYx2222222222111122(1)nniinniiiiiixxnnxx11222111112222211(2)ˆcov(,)cov(,)cov(,(2))cov(,)cov(,)niiinniiiiiiiiiiiiiinnniiiiiiiiiiiinniiiixYxxxYxYxYxYxYxYxxxxxYYxx则222222222222111122(1)nniiEnniiiiiixxESnnnxx六、（12分）某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。为了考察哪种包装最受顾客欢迎，选了10个地段繁华程度相似，规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录其销售量数据（见下表）：包装类型销售量112182141213319172142430若使用单因素方差分析（1）指出方差分析中的指标、因素和水平；（2）指出方差分析中假设检验的原假设0H和备择假设1H;（3）指出方差分析方法使用的条件，并完成下列方差分析表，分析哪种包装方式效果好。（0.05）方差来源DF（自由度）S2（平方和）2S均方差F值因素258随机误差46总和304解;(1)方差分析中的指标是该食品的销售量；因素为该食品的包装；水平为1、2、3、4这四种包装。（2）记1、2、3、4分别为四种包装下食品销售量的均值，提出如下假设：01234:H11234:H、、、不全相等（3）方差分析表使用的条件：1）每个水平服从正态分布且相互独立，方差相同。2）每个水平下取的样本独立同分布且有代表性。完成后的方差分析表方差来源DF（自由度）S2（平方和）2S均方差F值因素32588611.2125随机误差6467.67总和9304因F=11.2125F0.95(3,6)=9.78.所以拒绝原假设0H.认为包装对食品销售量影响显著。计算因素包装各个水平下的效应值11ˆ15183yy22ˆ13185yy33ˆ19181yy44ˆ27189yy计算结果表明，包装4效果好。重庆大学全日制学术型硕士研究生《数理统计》（B）课程试卷2013~2014学年第一学期（秋）请保留三小数位，部分下侧分位数为：0.951.65u，0.9751.96u，20.925(5)10，0.968(15)2t，0.833(15)1t，0.975(14)2.145t，0.975(10)2.228t，0.975(7)2.365t，20.95(2)5.991，20.95(3)7.815，0.90(2,2)9F，0.90(1,1)39.86F，0.90(1,2)8.53F，0.95(1,11)4.84F，0.95(1,10)4.96F，0.95(2,24)3.4.F一、（24分）设总体2~(,)XN，12,,nXXX来自总体X的简单样本，其中X，2S分别表示样本均值和样本方差。请分析和计算下列各式的值：（1）当4时，试确定n,使得{1}0.95PX成立；(2)2223212211{10}2jjiijXX