固定收益证券chapter5-3总结

关键利率久期前面讲过的的各种久期都假定到期收益率水平移动，但实际可能发生非水平的移动引入关键利率久期。关键利率久期(Key-RateDuration)：是以某些关键期限（1年、5年、10年等）利率为基础，衡量固定收益证券价格对利率敏感性的分析方法。具体而言，它描述的是关键年期的利率发生变化时，债券价格的敏感性。某些关键的整数期限的利率容易对金融市场交易者心理产生重要的影响。假设：1、关键年期利率对其他非关键年期利率的影响是简单的线性关系（例如线性递减关系）。2、关键利率变动的影响对其他关键年点的影响为零。假定选择1、3、5、7、10、15、20年为关键利率年，7年期利率上升10bp，由于7年期利率与右侧10年期利率的时间隔3年，所以当7年期利率发生变动时，对于右侧利率的影响将以每年10/3=3.33bp的速度下降，8年期的利率上升6.67bp，9年期上升10-2×3.33=3.33bp，10年期的利率不受影响例14：假设一种债券的票面利率是6.5%，面值为100美元，期限30年，关键利率假定为6个月期，10年期和30年期利率。10基点0.5时间100.5301030当关键利率上升10个基点时，各关键利率久期：6个月KD：10年期KD：30年期KD：附息债券价格受短期利率影响较小，受长期利率影响最大，而中期利率影响居中。100.6326-100.7180100.7180Duration(=-=0.8480.001年）100.2480-100.7180100.7180Duration=-=4.6660.001（年）99.9946-100.7180100.7180Duration=-=7.18220.001（年）在水平的期限结构下，各年期的关键利率久期之和等于修正久期。0.51030基点久期的局限性久期的局限性根据式，债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化时，可以用这条直线对新产生的价格进行估计。*PDyP特点1：债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切。对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。特点2：久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸性。凸性的数学推导收益率变化导致价格的变化，用泰勒级数展开：泰勒级数公式：2221/2()dPdPdPdydydydy'''()20000000()()()()()()()...()0!1!2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn2221()()()2dPdPPyyPydydydydy两边同除以P，得到：令C表示凸性上式写为：凸性是对债券价格利率敏感性的二阶估计。在价格－收益率出现大幅度变动时，它们的波动幅度呈非线性关系。由久期作出的预测将有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。21*()2PDyCyPP221dPCdyP222111/2()dPdPdPdydyPdyPdyPP*1dPDdyP*PDyP凸性实际上是价格-收益曲线斜率的变化率，即价格－收益曲线的弯曲度。由此可知，对于有一正凸性的债券（不含期权的债券都有正的凸性），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。凸性的修正会在一定程度上消除这种高估或低估。久期和凸性PriceDurationPricingErrorfromdurationYield由此定义，可得付息周期数为N，周期收益率为y的普通债券的凸性计算公式如下(求二阶导数）：令：则：21(1)1(1)(1)TtttttCFCPyy(1)tttCFWyP2211()(1)NttCttWy221dPCdyP11/1(1)TttttCFdPdyyy例15：面值1000元，票面利率为10％的5年期债券，一年付息一次，下一次付息在一年后。如果到期收益率为14％，计算其久期和凸性。解：11/(1)TttttCFDPy21(1)1(1)(1)TtttttCFCPyy时间(年)现金流（元）现值（元）权重久期t×权重t(t+1)凸性t(t+1)×权重12345总计(s)10087.71930.10170.101720.203410076.94680.08920.178460.535210067.49720.07820.2346120.938410059.20800.06860.2744201.37201100571.30550.66223.31103019.8660862.676814.100122.9150D=4.1001C=22.9150/(1+14%)2=17.6323CF/(1+y)t现值/P思考：如果是半年付息一次，凸性？利用下面的公式可把分期限计算的凸性转化为按年计算的凸性：其中m为每年的付息次数。对于零息票债券，有2m凸性(分期限算)凸性(按年算)2(1)(1)TTy零息票债券凸度例13：一债券面值为100元，票面利率为8％，到期时间为5年，半年付息一次，收益率为8％，利用久期计算收益率变动1个、100个基点时，债券的价格波动（久期可采用简化计算公式）。解：D=[(1+4%)/4%][1-1/(1+4%)10]=8.4353（半年）D*=8.4353/(1+0.04)=8.1109（半年）1）上升1个基点，从8％－8.01％，-8.1109×0.005%＝-0.0406%2）下降1个基点，从8％－7.99％，-8.1109×(-0.005%)＝0.0406%实际波动百分比分别为-0.0405%和0.0406%，与利用修正久期计算的结果基本一致。P/PP/P3）上升100个基点，从8％－9％，-8.1109×0.5%＝-4.0555%4）下降100个基点，从8％－7％，-8.1109×(-0.5%)＝4.0555%实际波动百分比分别为-3.9564%和4.1583%，当收益率变动较大时，利用修正久期计算的结果与实际相差较大。利用久期估计不能体现价格波动的不对称性。P/PP/P例16：对例14中的债券考虑凸性，计算其收益率变动后的价格波动。解：计算出其半年期凸性为80.7543.1）上升1个基点，从8％－8.01％，-8.1109×0.005%+1/2×80.7543×(0.005%)2＝-0.0405%2）下降1个基点，从8％－7.99％，-8.1109×(-0.005%)+1/2×80.7543×(-0.005%)2＝0.0406%与实际价格波动一致，体现了价格波动的不一致性。P/PP/P21*()2PDyCyPP3）上升100个基点，从8％－9％，-8.1109×0.5%+1/2×80.7543×(0.5%)2＝-3.9545%4）下降100个基点，从8％－7％，-8.1109×(-0.5%)%+1/2×80.7543×(-0.5%)2＝4.1564%实际价格波动分别为-3.9564%和4.1583%，用久期估计的结果为-4.0555%和4.0555%，考虑了凸性的估计结果与真实价格波动更接近。凸性的引入提高了债券价格估计的准确性P/PP/P可赎回债券的凸性负凸性区间正凸性区间价格赎回价格收益率可赎回债券的凸性AB特点在负凸性期间，到期收益率越低，债券的久期越小，价格的利率敏感性越弱。在负凸性期间，价格－收益率曲线表现出不具吸引力的不对称性：不对称性：利率上升引起的价格下跌大于利率下降引起的价格上涨。不具吸引力：利率上升时，价格下跌，投资者损失；利率下降时，投资者不仅未获得资本利得，还有可能被赎回股票。“投硬币，正反都是输”凸性的特征总结久期是收益率-价格曲线在某一点的斜率：一阶导数；凸性是收益率-价格曲线斜率的变化率，衡量的是曲线的弯曲程度：二阶导数。非含权证券都有正的凸性正的凸性是受投资者欢迎的，Why?221dPCdyP*1.dPDdyP正的凸性会给投资者带来额外的利益。凸性越大，价格－收益率曲线越弯曲，同等收益率条件下，债券价格越高。ConvexityProperty:Thegreaterabond’sconvexity,thegreateritscapitalgainsandthesmalleritscapitallossesforgivenabsolutechangesinyields.YTMPB0y0PB0YTMy1y2KGain{KLoss{y0y1y2KGainKLoss{{yyyy1020久期与凸性的近似求法近似修正久期：设P0是债券初始价格，是收益率变动的绝对值，是价格波动的绝对值，P+是收益率上升一个很小幅度后债券的新价格，P-…当收益率下降时，当收益率上升时，由于价格具有不对称性，取两次平均结果作为修正久期的平均值：yP00/()()/()PPyPPPy00/()()/()PPyPPPy02PPPy近似凸性：将近似久期带入式得近似凸性：收益率变动越小，用近似法求得的久期和凸性就越准确。0202()PPPPy21*()2PDyCyPP例16：一种25年期的债券，面值100元，票面利率6％，半年付息一次，下次付息在半年后，初始价格P0为70.3570元，对应的到期收益率为9％，求久期和凸性的近似值。解：令收益率变动10个基点，当收益率增加到9.1％时，P+为69.6164元，当收益率将降到8.9％时，P-为71.1105元，近似久期（半年）＝(71.1105-69.6164)/(2×70.3570×0.05%)=21.2360久期（年）=10.6180近似凸性（半年）＝(71.1105+69.6164-2×70.3570)/[70.3570×(0.05%)2]=733.4025凸性（年）=183.3506习题讲解(CFA)1.有关零息债券的麦考利久期，以下说法正确的是：a.等于债券的到期期限。b.等于债券的到期期限的一半。c.等于债券的到期期限除以其到期收益率d.因无息票而无法计算。1.a2.每年付息的债券，息票利率为8％，到期收益率为10％，麦考利久期为9。债券的修正久期为：a.8.18b.8.33c.9.78d.10.002.a9/(1+10%)=8.183.债券的利率风险会：a.随到期期限的缩短而上升；b.随久期的延长而下降；c.随票面利息的增加而下降；d.以上都不对。3.c4.以下哪种债券的久期最长？a.8年期，息票利率6％；b.8年期，息票利率11％；c.15年期，息票利率6％；d.15年期，息票利率11％。4.c5.一种债券息票率为6%，凸性（年）为120，以票面的80%出售，而且按到期收益率为8%定价。如果收益增至9.5%，估计因凸性而导致的价格变动的百分比为：a.1.08%b.1.35%c.2.48%d.7.35%5.b=1/2*120*(1.5%)2=1.35%DURATION(settlement,maturity,coupon,yld,frequency,basis)MDURATION(settlement,maturity,coupon,yld,freq