第十三章轴对称教案共15课时

第1页§13．1轴对称§13．1．1轴对称（一）课型：新授课教学目标一、知识与技能1、在生活实例中认识轴对称图．2、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。二、过程与方法分析轴对称图形，理解轴对称的概念．三、情感态度价值观让学生体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现。教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学方法：探究、实践操作练习预习导航1、分析轴对称图形，理解轴对称的概念．2、两个图形成轴对称即对称点的概念3、轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别。教学过程一、图片展示，引入新课轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．二、新知探究1、轴对称图形及对称轴的概念形成（1）出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．（2）概念形成如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（3）学生举例（4）制作学具，强化概念取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．第2页接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。（5）例题讲解下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．(1)(2)(3)(4)(5)2、两个图形关于某条直线对称概念形成（1）展示挂图，大家想一想，你发现了什么？（2）制作学具，交流讨论总结定义像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．（３）两个图形成轴对称与全等图形的关系（课本P31思考）．结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．３、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．三、巩固练习第3页A组：课本P30练习P31练习B组：1、找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？2、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗3、练习册习题C组：1、用两个圆、两个三角形、两条平行线构造轴对称图形，别忘了要加上一两句贴切、诙谐的解说词。四、课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．五、作业课本习题13．1的2、7题．六、板书设计§13．1．1轴对称（一）一、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．三、两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别教学反思：§13．1．2轴对称（二）——轴对称的性质课型：新授教学目标一、知识与技能了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．二、过程与方法探究线段垂直平分线的定义．三、情感态度价值观经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．教学重点1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的定义．教学难点体验轴对称的特征．教学方法：探究、引导教具准备：直尺、铅笔预习导航:第4页1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．（2）关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段对应角相等2．探究线段垂直平分线的定义教学过程一．回顾复习、引入新课提问轴对称图形与两图形成轴对称的定义，今天继续来研究轴对称的性质．二．新知探究1、探究轴对称的性质如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，（1）△ABC和△A′B′C′有什么关系？对应线段、对应角有什么关系？（2）线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？（3）延长对应线段，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？教师引导学生讨论归纳轴对称的性质：a、关于某条直线对称的两个图形全等，对应线段对应角相等b、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．c、成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上。2、探究线段垂直平分线的定义（1）学生活动：自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系。我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．（2）归纳定义：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．三、例题讲解例1如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?哪些线段相等?例2如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD=，∠第5页CBA=，∠ADC=．（2）AE与BF平行吗？为什么？（3）延长线段AB、EF，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？四、巩固练习课本习题13．1─3、4、10题．五．课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的定义六、课后作业数学小册子七、板书设计§13．1．2轴对称（二）一、图形轴对称的性质二、线段垂直平分线的定义课后反思：§13．1．2轴对称（三）——线段的垂直平分线的性质课型：新授教学目标一、知识与技能1．线段垂直平分线的性质二、过程与方法利用线段垂直平分线性质证明线段相等三、情感态度价值观经历探索线段垂直平分线性质的过程，进一步培养学生探究能力教学重点线段垂直平分线的性质．教学难点探究线段平分线性质教学方法：探究、引导教具准备：直尺、铅笔预习导航:1．线段垂直平分线的性质2、利用线段垂直平分线性质证明线段相等教学过程一．复习回顾，引入新课1、复习轴对称的性质第6页A2、复习线段垂直平分线的定义今天继续来研究线段垂直平分线的性质．二．新知探究1、探究线段垂直平分线的性质[探究1]如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？（1）用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…（2）作好图后，用刻度尺量出它的长度AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．(3)总结归纳性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…2、证明线段垂直平分线的性质引导学生画出图形，写出已知、求证。(1)证法一：利用判定两个三角形全等．如下图，在△APC和△BPC中，PC=PC∠PCA=∠PCB=90°AC=BC△APC≌△BPCPA=PB.(2)证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．三、例题讲解例1图8是某跨河大桥的斜拉索，图中AO＝BO，PO⊥AB，则必有PA＝PB，为什么?例2如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：△BCD的周长。图8第7页四．巩固练习（一）课本P34练习1、（二）1、已知互不平行的两条线段AB,A′B′关于直线l对称，AB,A′B′所在的直线交于点P，判断下列正误。1）AB=A′B′（）2）点P在直线l上（）3）若A,A′是对称点，则l垂直平分线段AA′（）4）若B,B′是对称点，则PB=PB′()（三）如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?为什么?五．课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．六、课后作业（一）课本习题13．1的第5题．（二）复习题13第5题七、板书设计§13．1．2轴对称（二）一、复习线段垂直平分线的定义二、线段垂直平分线的性质课后反思：§13．1．2轴对称（四）——线段的垂直平分线的判定课型：新授教学目标一、知识与技能1．线段垂直平分线的判定二、过程与方法第8页利用线段垂直平分线判定证明线段相等或垂直三、情感态度价值观经历探索线段垂直平分线判定的证明过程，进一步培养学生探究能力教学重点线段垂直平分线的判定．教学难点探究线段平分线判定教学方法：探究、引导教具准备：直尺、铅笔预习导航:1．线段垂直平分线的判定2、利用线段平分线判定证明线段相等或垂直3、成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；教学过程一．创设情境，引入新课如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？三．新知探究1、探究线段垂直平分线的判定（1）活动：1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？（2）探究过程：1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与A、B重合．当AP2=BP2时，亦然．（教师引导学生写出证明过程）（3）探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方第9页向与木棒垂直．（4）总结概括线段垂直平分线的判定，即：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、证明线段垂直平分线的判定已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）（1）证法一：证明：过点P作已知线段AB的垂线PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．（2）证法二：证明：取AB的中点C，过PC作直线．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴P点在AB的垂直平分线上．（3）证法三：证明：过P点作∠APB的角平分线．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角