正弦定理与余弦定理的证明

第1页共5页一、正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有sinCDaB,sinCDbA。由此，得sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，故有sinsinabABsincC.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有sinsinCDaCBDaABC，sinCDbA。由此，得sinsinabAABC，同理可得sinsincbCABC故有sinsinabAABCsincC.由(1)(2)可知，在ABC中，sinsinabABsincC成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sinsinabABsincC.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为则Rt△ADB中,ABADBsin∴∴S△ABC=BacADasin2121同理,可证S△ABC=AbcCabsin21sin21∴S△ABC=BacAbcCabsin21sin21sin21∴在等式两端同除以ABC,可得bBaAcCsinsinsin即CcBbAasinsinsin.3.向量法证明正弦定理(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-C由向量的加法原则可得ABCBAC为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量abDABCABCDbaDCBA第2页共5页j的数量积运算,得到ABjCBACj)(由分配律可得ABjCBjACB∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-Aj∴asinC=c∴CcAasinsinA另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得BbCcsinsin(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B∴CcBbAasinsinsin(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C由ABCBAC,得j·ACj·CB=j·ABj即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-∴asinC=c∴CcAasinsin另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB夹角为B.同理,可得CcBbsinsin.∴CcBbsimAasinsin4.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=RcBC2sinsin∴RCc2sin同理,可得RBbRAa2sin,2sin∴RCcBbAa2sinsinsin这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式ACCBA第3页共5页CcBbAasinsinsin法一(平面几何)：在△ABC中，已知,,ACbBCaC及，求c。过A作sinsinADBCDADACCBCC于，是＝，coscos,CDACbc在RtABD中，2222222(sin)(cos)2cosABADBDbcabcababc，法二（平面向量）：222()()22||||ABABACBCACBCACACBCBCACACBC222cos(180)2cosBBCbabBa，即：2222coscababc法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有：DC×CE=AC×CG，带入以后就是(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，角平分线AD＝2cm，求此三角形面积.分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝12AB·AC·sinA，需求出ACB第4页共5页sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝12AC·ADsinA2，S△ADB＝12AB·AD·sinA2，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sinA2的方程，而sinA＝2sinA2cosA2，sin2A2＋cos2A2＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.解：在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，∴12AB·ACsinA＝12·AC·AD·sinA2＋12·AB·ADsinA2∴12·4·3sinA＝12·3·2sinA2，∴6sinA＝7sinA2∴12sinA2cosA2＝7sinA2∵sinA2≠0，∴cosA2＝712，又0＜A＜π，∴0＜A2＜π2∴sinA2＝1－cos2A2＝9512，∴sinA＝2sinA2cosA2＝79572，∴S△ABC＝12·4·3sinA＝79512（cm2）.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝x2，在△ADB中，cosADB＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝42＋（x2）2－522×4×x2在△ADC中，cosADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝42＋（x2）2－322×4×x2又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.∴42＋（x2）2－522×4×x2＝－42＋（x2）2－322×4×x2解得，x＝2所以，BC边长为2.2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.解：在△ADC中，cosC＝AC2＋DC2－AD22AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114，第5页共5页又0＜C＜180°，∴sinC＝5314在△ABC中，ACsinB＝ABsinC∴AB＝sinCsinBAC＝5314·2·7＝562.3.在△ABC中，已知cosA＝35，sinB＝513，求cosC的值.解：∵cosA＝35＜22＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°，∴sinA＝45∵sinB＝513＜12＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.∴0°＜B＜30°cosB＝1213∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝35·1213－45·513＝1665又C＝180°－（A＋B）.∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－1665.