新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案

1DCBADCBAFE12第一章三角形的证明第一节等腰三角形（一）模块一预习反馈（P2—P6）一．知识点1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。（论证）2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。3、等腰三角形性质定理：（等边对等角）。（论证）4、推论（三线合一）：。（论证）5、等边三角形性质定理：。（论证）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1.如图，已知∠D=∠C，∠A=∠B，且AE=BF。求证：AD=BC。2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC∠BAC=100°。求∠1、∠3、∠B的度数。3．如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。模块三能力提升1．填空：（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。请找出所有的等腰三角形。（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为。（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。求证：∠1=∠2。ABCDEF321ABCDDCBA2AEDBC12ABFDEC模块四：课下练习☆能力提升1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC的度数_________．2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线.求证：BD＝CE.3．如图，A、B、F、D在同一直线上，AB=DF，AE=BC，且AE∥BC.求证：⑴△AEF≌△BCD，⑵EF∥CD.第一节等腰三角形（二）模块一预习反馈（P5例1—P9）一．知识点1、等腰三角形两个底角的平分线相等；2、等腰三角形腰上的高相等；3、等腰三角形腰上的中线相等；3EABCDEABCDEABCD4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；（以上定理画图、写出已知、求证、证明过程）5．等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60。6、两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。模块二基础训练1.在如图的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=13∠ABC，∠ACE=13∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=12AC，AE=12AB，那么BD=CE吗?如果AD=13AC，AE=13AB呢?由此你得到什么结论?2．想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。a)三角形中必有一个内角不少于60度；b)一个三角形中不能有两个角是钝角；c)垂直于同一条直线的两条直线平行。3、如图，ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE。求证：ABC是等腰三角形。模块三能力提升1、如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。2、如图，E是△ABC内的一点，AB=AC，连接AE、BE、CE，且BE=CE，延长AE，交BC边于点D。求证：AD⊥BC。EABCD4模块四：课下练习1、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，∠B等于________度．2、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于E，过E作DF∥BC交AB于D，交AC于F．若BD＋CF＝8，则线段DF的长（）.A．9B．7C．8D．63.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（）.A.a23B.2aC.3aD.4a第一节等腰三角形（三）模块一预习反馈（P10—P11）一．知识点1、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。2、等边三角形的判定1）三个角都相等的三角形是等边三角形。2）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。（证明）3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（证明）模块二基础训练1、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。求证：△ADE是等边三角形。EABCD52、如图，△ABC是等边三角形，BD=CE，∠1=∠2。求证：△ADE是等边三角形。3、如图，在RtABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长。模块三能力提升1、填空：（1）如图1，BC=AC，若，则△ABC是等边三角形。（2）如图2，AB=AC，BC⊥AD，BD=4，若AB=，则△ABC是等边三角形。（3）如图3，在RtABC中，∠B=30°，AC=6cm，则AB=；若AB=7，则AC=。图1图2图32、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD。模块四：课下练习1、填空：（1）如图1，AB=AC，AD是△ABC的一条中线，AB=5，若BD=，则△ABC是等边三角形。（2）如图2，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD=。21EABCDCBAD30°CBAABCDABCABCDDCBA6BACD图1图22、已知：ABC中，90ACB，ABCD，30A，AB=40，求DB的长。3、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求：AB的长第二节直角三角形（一）模块一预习反馈（P14—P16）一．知识点1、直角三角形的两个锐角互余。（性质）2、有两个角互余的三角形是直角三角形。（判定）3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。（性质）4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（判定）5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。模块二基础训练1、如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：BA∥DC。2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。ABCDDCBA1291573、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=59。（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.模块三能力提升1、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为。（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。1）等边对等角；2）对顶角相等；3）平行四边形的两组对边相等；4）正方形的四条边都相等；3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？模块四：课下练习1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。（1）矩形是平行四边形。（2）内错角相等，两直线平行。（3）如果yx，则22yx。（4）全等三角形对应角相等。（5）对顶角相等（6）如果ab=0,那么a=0,b=0；2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于。图583、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CADB第二节直角三角形（二）模块一预习反馈（P18—P20）一．知识点斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（“斜边、直角边”或“HL”）（证明）模块二基础训练1、在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：AD是∠BAC的角平分线。2、如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上的一点。求证：CE=DE。EDABCCBADE93、在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．模块三能力提升1、填空：.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB。模块四：课下练习1.已知x、y为正数，且034222yx，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）.A.5B.25C.7D.15'CCADB'''BDA10EDABCEDABC2.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1，求AG的长.第三节线段的垂直平分线（一）模块一预习反馈（P22——P23）一、知识点1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（性质）2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线。1）则BD=；2）若∠B=40°，则∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°；3）若AC=4，BC=5，则DA+DC=，△ACD的周长为。2、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求△AEC的周长。11CBADE132CBADECBADE3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。模块三能力提升1、如图，已知AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AC于D。1）若△DBC的周长为24cm，则BC=cm；2）若BC=8cm，则△BCD的周长是cm。2、已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，求△ABC的周长。模块四：课下练习1、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE为AB的中垂线，则∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°；若△ABC的周长为16cm，BC=4cm，则AC=，△BCE的周长为。2、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，AE=2cm，求△CDB的周长。EDABCEDABC12第三节线段的垂直平分线（二）模块一预习反馈一．知识点1、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2、尺规作图：已知直线外一点作直线的垂线。证明1模块二基础训练1、用尺规作线段的垂直平分线。2、已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。3、已知：线段a、h，求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h作法：模块三能力提升1、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA=10，则PB=，PC=。2、已知：线段a=4cm、h=6cm求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h作法：BABABAABPha13模块四：课下练习1、如果ABC△的边BC的垂直平分线经过顶点A，与BC相交于点D，且2ABAD，则ABC△中必有一