关于线性方程组解法的研究

西安文理学院数学系毕业论文题目：关于线性方程组解法的研究姓名：朱相心指导教师：董忠民专业：数学与应用数学班级：2003级2班日期：2007年6月5日1关于线性方程组解法的研究（学生：朱相心）（数学系2003级2班）指导老师：董忠民【摘要】本文对线性方程组求解的一般方法作了归纳总结及研究，列举了八种方法，并利用计算机数学软件进行线性方程组的求解，同时对各种方法的优缺点进行了分析。【关键词】线性方程组求解方法引言在中学代数和解析几何里，我们已经遇到两个未知量和三个未知量的线性方程组。但是许多从理论和实际问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的也不一定相等。因此我们将讨论含有任意个未知量任意个方程的线性方程组。那么什么是线性方程组呢？解线性方程组都有那几种方法？各种方法有何优缺点？下来我们给出两个定义：定义1数域P上n个未知量nxx,,1的线性方程组指形如snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（I）的方程组。其中iijba,是P中任一已知数，ija为第i个方程、第j个未知量的系数，ib称为常数项（si,2,1，nj,2,1）。定义2（I）称为n元非齐次线性方程组，其矩阵形式为Ax=（A为方程组的系数矩阵）若=0，即000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa称为方程（I）对应的齐次线性方程组，其矩阵形式为Ax=0一、求解的方法1、利用Cramer法则（公式法）定理（Cramer法则）：一个含有n个未知量的n个方程组（I）当它的行列式D0时，有且仅有一组解DDxDDxDDxnn,......,,2211此处jD是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项nbbb,,,21而得到的n阶行列式。2例1、解线性方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：这个方程组的行列式,276741212060311512D因为D0，我们可以应用Cramer法则，再计算以下的行列式,8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D.2707415120903185124D由Cramer法则得到方程组的解是1,1,4,34321xxxx。注：Cramer法则的主要优点在于：它给出了方程组的解与方程组的系数及常数项的关系的公式。对较低阶的方程组可以较容易的计算，但对实际遇到的高阶方程组来说，为了求方程组的解要计算的行列式的值，计算量过大。2、高斯消去法消元法是解线性方程组最有效最基本的方法，其步骤是先对方程组的增广矩阵A作初等变换化为阶梯形矩阵，然后回代，将它的左上角化为单位矩阵，即可求出方程组的解。例2、解方程组23213213211aaxxxaxaxxxxax解：对方程组的增广矩阵实施初等变换21111111aaaaa2111111121aaaaarraaaaaaaaarrarr222110111011131222211101101132aaaaaaaaarr3)1)(1(20011011222)1(23aaaaaaaaaarar21),11(;1),11()1(2001101132aaaaaaaraar2)1(200110001121aaaarr（1）当a=-2时，)()(AbrAr无解；（2）当2a且1a时有唯一解，解为2)1(21212321aaxaxaax；（3）当1a时，方程组为1321xxx有无穷多解，解为23122111cxcxccx（21,cc为任意常数）注：高斯消去法是实践证明了的在计算机上常用和有效的一种方法。3、主元素消去法主元素消去法又叫做全主元消去法，即在整个系数矩阵中找绝对值最大的元素作为主元素，并消去其余方程中的ix（选取第i个主元素，就消去其余方程中的ix），逐步化为上三角行方程组，便可得到),(21nxxxX。例3、解方程组017232221413321xxx解：设232221413A，A每做一次变换记为iA，则017232221413321xxx交换A中第三列与第一列A4017232122314123xxx消去1A中的21a和31a1A017212301270314123xxx消去2A中的32a2A7461020027270314123xxx显然很容易得到711,725,723321xxx。注：主元素消去法是为控制舍入误差而提出的一种方法。在高斯消去法的消元过程中，若出现0)(kkka，则消元无法进行，即使0)(kkka，但很小，把它作为除数，就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散，最后使计算结果不可靠。在作除法运算时，分母的绝对值越小，舍入误差影响就越大，因此在做除法运算时要选取绝对值较大的作分母，这是主元素消去法的基本思想。4、列主元素消去法在（I）中，首先在方程的系数中选取绝对值最大者（第i个方程）作为主元素11a，为此，将第i个方程和第一个方程交换，并消去其余的方程中的1x，得到nnnnnnnnnbxaxabxaxaibxaxaxa222222211212111个方程第其次在方程组不含有1x的方程中，再选取绝对值最大的元素（第j个方程）作为主元素22a，将第j个方程和第二个方程交换，并消去其余方程中的2x得到nnnnnnnnnnnbxaxabxaxajbxaxaibxaxaxa33333332222211212111个方程第个方程第以此类推，将方程组化至最简，且保证每一列方程的主元素为绝对值最大的，便可得到最终的解。5例4、解方程组6557710462332121321xxxxxxxx解：交换原方程组中的第一个和第二个方程得6554623771032132121xxxxxxxx（1）消去第二个和第三个方程中的1x，得25525106161017710323221xxxxxx（2）将方程组（2）中的第二个方程和第三个方程交换，得10616101255257710323221xxxxxx（3）将方程组（3）中第三个方程的2x消去，得53153125525771033221xxxxx01x1,2x,13x为方程组的解。注：列主元素法是主元素法的一种特例，所以列主元素消去法具有主元素消去法的特点。此外，列主元素消去法在选取整个系数矩阵中找绝对值最大的元素作为主元素比主元素法次数更少。5、平方根法（Cholesky分解法）设nnnnnnaaaaaaaaaA212222112111当A是对称正定矩阵时，存在一个实的非奇异的下三角矩阵L，使得A=LTL，且当限定L的对角线元素为正时，这种分解是唯一的。A=LTL=nnnnnllllllllll321333231212111nnnnnllllllllll333232221312111=2222122221111122212122222111211112111211nnnnnnnnnnllllllllllllllllllllll有211l=11a11l=11a611l21l=21a21l=1121la=1121aa………..111nll=1na1nl=111lan=111aan…………以此得到矩阵L中的所有元素),2,1;,2,1(njnilij由bLY，解出Y即解nnnnnllllllllll321333231212111nyyyy321=nbbbb321再由YXLT，解出X即解nnnnnllllllllll333232221312111nxxxx321=nyyyy321，解出X=nxxxx321其中nxxxx,,,321为确定值。例5、解方程组712332253233121321xxxxxxx解：设A=1203022323又A=LTL=333231212111llllll333222312111llllll=2332322312232213111313222312122222111211112111211lllllllllllllllllllllln211l=311l=3，11l21l=221l=32，7333311131lll，36342222222221lll，603222322131lllll，31233233232231llll，L=363336323，TL=363633323bLY，即363336323321yyy=735计算得31,61,35321yyy又YXLT，即316135363633323321xxx计算得31,21,1321xxx即原方程组的解为31211X。注：平方根法适用面窄，只适用于系数矩阵为对称正定，且对角线元素为正。在计算L的对角线元素时要完成n次开方运算，计算矩阵时计算量减少了一半。6、TLDL分解法平方根法虽然在分解矩阵时计算量减少一半，但是计算对角线元素时要完成n次开方，为避免开方运算，把矩阵分解为TLDLA（1），当A为对角线矩阵，且所有顺序主子式均不为零时，A可以唯一分解为（1）的形式，其中L是下三角矩阵，而且对角线元素为1，D是对角线矩阵，对角线上元素都不为零。利用（1）两边元素相等的办法，得出计算矩阵