第3讲导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题

第3讲导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题专题一函数与导数、不等式讲课人：邢启强2理解考纲明确要求考纲解读高考定位1.主要考查导数的几何意义、导数的四则运算及利用导数求函数的单调区间及求解极值与最值，多与含参不等式相结合．2.由含参函数的单调性、极值、最值求参数的取值范围是近几年高考命题的重点，试题难度较大．讲课人：邢启强3原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1x知识回顾理清教材要点梳理基本初等函数的导数公式讲课人：邢启强4知识回顾理清教材要点梳理法则1:两个函数的和(差)的导数()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数法则3:两个函数的商的导数导数的运算法则:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:[()]().CfxCfx讲课人：邢启强5知识回顾理清教材要点梳理.,'''xuxuyyxguufyxgfy导数间的关系为的的导数和函数复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy的导数对表示xyyx'.),(,,,,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复合函数复合函数求导步骤:分解—求导—回代.法则：'''xuxyyu复合函数的导数讲课人：邢启强6知识回顾理清教材要点梳理2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y＝|x|在x＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件．1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值)．讲课人：邢启强7知识回顾理清教材要点梳理4．定积分的求法及几何性质(1)定积分的求法①定义法：分割—近似代替—作和—取极限；②利用微积分基本定理：先求被积函数f(x)的原函数F(x)，即F′(x)＝f(x)，再计算F(b)－F(a)，即为所求．(2)求定积分的一些技巧①对被积函数要先化简，再求定积分；②求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；③对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分.(3)定积分的几何性质如果在区间[a，b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃbaf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．讲课人：邢启强8题型一利用导数讨论含参函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，a∈R.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当0≤a12时，讨论f(x)的单调性．解(1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝x－1x＋2x2，x∈(0，＋∞)．由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2(舍去)，所以当x∈(0,1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．故当a＝－1时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．讲课人：邢启强9(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，g(x)0，此时f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，此时f′(x)0，函数f(x)单调递增．②当0a12时,由f′(x)＝0,即ax2－x＋1－a＝0,解得x＝1或1a－1.此时1a－110,所以当x∈(0,1)时,g(x)0,此时f′(x)0,函数f(x)单调递减；x∈1，1a－1时,g(x)0,此时f′(x)0,函数f(x)单调递增；x∈1a－1，＋∞时,g(x)0,此时f′(x)0,函数f(x)单调递减．综上所述,当a＝0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增；当0a12时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在1，1a－1上单调递增,在1a－1，＋∞上单调递减．讲课人：邢启强10(2011·江西)设f(x)＝13x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n10(m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)讲课人：邢启强11解(1)由题意得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，所以m－1＝2，(n－3)－(m－1)2＝－5，解得m＝3，n＝2.故所要求的解析式为f(x)＝13x3＋3x2＋2x.(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m2－4n0，即m2n.不妨设这两个不同的根为x1，x2，则|x2－x1|＝2m2－n为正整数．故m≥2时才可能有符合条件的m，n.当m＝2时，只有n＝3符合要求．当m＝3时，只有n＝5符合要求．当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．讲课人：邢启强12讲课人：邢启强13巧练细解课堂突破保分题，分分必保！讲课人：邢启强14归纳与提升方法引领误区防范