《信号与系统》知识点总结

《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平1《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平2009.60.前言本文的目的是帮助《信号与系统》课程学习者整理知识。它适合于对《信号与系统》已经建立起一定的框架，但可能对某些问题感到模糊或困惑的人阅读。本文也试图对一些类型的计算题给出机械的标准化的解法。过于容易，或不太可能被考试题考察的知识点在此省略。知识点基本上按照章来组织和编号。但是如果不同的章有相类似的知识点，我将把它们合并成一个，然后用字母M(mixed)开头编号。另外大家要注意将本文和教材结合起来看。它的目的是整理思路，因此不能对它期望过多。符号表示卷积，而不是乘法。1.第1章1.1能量信号和功率信号请阅读教材第4页。1.2系统的线性和非线性，时不变和时变，因果和非因果请阅读教材相关内容。这里，我对系统的线性和非线性给出我的一点个人看法。严格地说来，系统是否线性指的是系统的输出对输入满足齐次性和叠加性。按照这个标准，如果系统的输出和某个系统的“初始状态”有关，即其不能视为一个线性系统。但是，很多教材都从实用的角度出发，将线性的定义放宽为允许将初始状态看做一种特殊的输入，因而很多按照原来定义不是线性的系统成为了线性系统。在第3章我还要对此问题作进一步的阐述。2.第2章2.1冲激信号的性质筛选特性、抽样特性、展缩特性，即教材中公式（2-21），（2-22），（2-23）必须在理解的基础上记忆。冲激信号（t）不是一般意义上的信号，而是一种理想化的“信号”，在数学上它是一广义函数。我们无法离开冲激信号因为它为我们的推导和思维提供了很多方便。冲激信号虽然在物理上不存在，但如果一个物理信号取到非0值的时间集中在某个瞬时，就可用冲激信号近似。不过要注意脉冲信号[k]却是完完全全的一般意义上的信号。2.2信号的尺度变换、翻转与时移图示解题方法对这种类型的题目。针对信号是连续或离散应采用不同的解题步骤。对于连续信号，大家应仔细阅读教材中的例子，特别是例2-6。建议严格按照例2-6的步骤做。对折线波形可以用一个小技巧：把所有的关键点在新图画出其对应点，然后将他们连接起来。对于离散信号，可直接根据自变量的值算出函数值，然后在图上标出即可。一般来说，需要画的值没几个。《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平22.3积分与u(t)，累加和与u[k]若g(t)是f(t)从-开始积分到t得到的积分信号。则g(t)=f(t)u(t)。若g(t)是f(t)从0-开始积分到t得到的积分信号。则g(t)=f(t)u(t)u(t)。若g[k]是f[k]从-开始累加到k得到的信号。则g[k]=f[k]*u[k]。若g[k]是f[k]从0开始累加到k得到的信号。则g[k]=f[k]u[k]*u[k]。2.4根据信号波形写出表达式解题方法连续情形：我的个人看法是绝大多数情况下，求导法是好方法。逐步求导，直到导数信号由冲激和矩形构成。要注意从导数信号积分得到原信号存在一个常数问题。【例】写出下列波形的用基本信号表示的表达式。解：采用导数法。首先画出'()ft的波形（这里省略）。从导数信号的图可以写出：'()()2(1)(2)ftututut。因此，()()2(1)(2)ftrtrtrtC，这里C为待定常数。从图看出()0f，而因为()0r，故应有0C。即()()2(1)(2)ftrtrtrt。考题不太可能出离散情况，但是出了也不用怕，因为离散序列可以用[k]及其移位线性组合得来。3.第3章3.1LTI系统的时域描述由线性常系数微分（差分）方程描述的系统是连续（离散）线性时不变系统。但是反过来不成立，比如延迟环节y(t)=x(t-t0)就不能用微分方程描述。微分方程形式：()()()()011()()()()nnnninniiiiiytaytbxtbxt差分方程形式：011[][][][]nniiiiykaykibxkbxki说它们是LTI的可以这么理解：1）如果该系统起作用（即工作）的时间范围是双边的，即(,)，相应地输入信号x(t)和输出信号y(t)都定义在(,)上，则该系统是LTI系统。)(tft112《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平32）如果该系统起作用（即工作）的时间范围是[0,)，相应地输入信号x(t)和输出信号y(t)都定义在[0,)上，则从线性的原始定义出发，该系统是有条件的LTI系统。其条件是y(0-)，y’(0-)，…，y(n-1)(0-)均为0（对连续系统）；y[-1]，y[-2]，…，y[-n]均为0（对离散系统）。如果把初始状态也视为某种扩展的“输入”，则系统对输入信号和“初始状态输入”是线性的，从这个意义上把该系统视为LTI系统。3）前面已述如果系统处于零初始状态（initiallyatrest,IR），则该系统为LTI系统（即使按照原来的严格标准）。这可以有两种理解：A)将系统理解为从双边信号到双边信号的LTI系统；如果采用这种理解，则需扩充x(t)和y(t)的定义为当t0时，x(t)=0,y(t)=0。B)将系统理解为从0始信号到0始信号的LTI系统；如果采用这种理解，则无需扩充相关信号的定义域，但须修改时不变性定义，规定时间位移只能是非负的（因为负的时间位移会破坏信号的0始性）。3.20-的含义0-不是一个独立的值，它一定是和函数联系在一起的。正式定义：0,0(0)lim()ttfft-=。即f(0-)是f(t)在t=0处的左极限。为方便起见，我们有时也说f(0-)是f在0-的值。3.3求LTI系统零输入响应解题方法连续情形解题步骤：1）写出特征方程，求出特征根。2）根据特征根写出响应的含有待定系数的表达式。注意有重根，共轭复根的情况。还要注意表达式中不含有u(t)，但后面要加注t0-。3）根据y及其各阶导数在0-的值，求出所有待定系数。4）写出零状态响应的明确表达式，注意昀后要加注t0-。离散情形解题步骤：1）写出特征方程，求出特征根。2）根据特征根写出响应的含有待定系数的表达式。注意有重根，共轭复根的情况。还要注意表达式中不含有u[k]，但后面要加注k-n。其中，n为方程的阶数。3）根据y[-1],…y[-n]的值，求出所有待定系数。4）写出零状态响应的明确表达式，注意昀后要加注k-n。3.4求LTI系统冲激响应/脉冲响应解题方法连续情形解题步骤：1）写出特征方程，求出特征根。2）根据特征根写出冲激响应h(t)的含有待定系数的表达式。注意有重根，共轭复根的情况。还要注意表达式为某个叠加起来的式子乘以u(t)。如果微分方程等式两端的昀高求导阶数相同，在h(t)中还会含有冲激信号项。3）将原微分方程右端的所有输入信号x(t)用（t）替换，将微分方程左端的输出信号y(t)用h(t)替换。4）将如此得到的微分方程用冲激平衡法即“等式两端的（t），’（t），…的相应系数必须相等”确定所有的待定系数。注意在这个过程中要充分利用冲激信号的筛选特性。5）写出h(t)的明确表达式。《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平4请仔细阅读教材86，87页的两个例子。不过我个人观点，在两个例子中，t0都可以去掉。离散情形解题步骤：1）写出特征方程，求出特征根。2）根据特征根写出脉冲响应h[k]的含有待定系数的表达式。注意有重根，共轭复根的情况。还要注意表达式为某个叠加起来的式子乘以u[k]。如果差分方程等式两端的昀大延迟相同，在h[k]中还会含有[k]项。3）将原差分方程右端的所有输入信号x[k]用[k]替换，将微分方程左端的输出信号y[k]用h[k]替换。4）将如此得到的差分方程用k=0,k=1,…代入，解出所有的待定系数。5）写出h[k]的明确表达式。我这里用教材103页的例子进行补充说明。【例】某离散时间LTI系统的差分方程为y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]。求系统的单位脉冲响应h[k]。解：系统的特征方程为r2+3r+2=0。解得特征根为r1=-1，r2=-2。单位脉冲响应的形式为h[k]=[C1(-1)k+C2(-2)k]u[k]。从原方程得到h[k]+3h[k-1]+2h[k-2]=[k]。分别用k=0,k=1代入得h[0]=C1+C2=1，-C1-2C2+3h[0]=0。解得C1=-1，C2=2。因此，系统的单位脉冲响应为h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]。个人觉得教材103页把第4步其实是如此简单的方法不必要地复杂化了。3.5求LTI系统的全响应全响应=零输入响应+零状态响应=零输入响应+输入*冲激（脉冲）响应。在昀后给出全响应表达式时，要加注t0-（连续），k-n（离散）。【注】零输入响应是由系统的初始状态引起的响应，由于比初始状态更早的y的值我们并不知道，而且也不需要知道，因此我们只能把零输入响应看作有始信号，在正确的前提下可将开始时间尽量选得早一点，对连续系统选0-，对离散系统选-n（n为差分方程的阶）比较好。因此，零输入响应在解题时一般写成()0ziytt某表达式，（连续）[]ziykkn某表达式，（离散）对于零状态响应（包括冲激响应），我们既可以把它理解为从0时刻开始的信号，也可以把它理解为双边信号。在采用后者时，t0时的值用0填充。我倾向于采用后者。这样，在解题时零状态响应一般写成()()zsytut某表达式（连续）[][]zsykuk某表达式（离散）3.6齐次解和特解前面给出的线性微分（差分）方程，如果将方程右端置为0，所得到的方程被称为原方程的齐次方程。即()()1()()0nnniiiytayt（连续）1[][]0niiykayki（离散）《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平5线性微分（差分）方程所对应的齐次方程的解称为齐次解。由此可见，齐次解一般不是原方程的解。齐次解有无穷多个，它们构成一个线性空间。“特解”这个名词根本不是什么数学概念，用某种方法求出的一个具体的原方程的解就称为一个特解。因此，不存在哪些解是特解，哪些解不是特解这样的说法。任何一个解，只要被求出了，就可以称为是一个特解。“特解”这个名词的出现，主要是基于线性微分（差分）方程的这么一个性质：只要求出一个解（称为“特解”），则方程的所有解都可以表示为该特解与一齐次解之和。零输入响应是该线性微分（差分）方程的一个齐次解。3.7固有响应和强制响应定义见教科书96页。Oppenheim的教材没有提及这对概念；而在Haykin的教材中，固有响应=零输入响应，强制响应=零状态响应。按照我们的教科书的定义，零输入响应构成固有响应的一部分，而在零状态响应中也包含一部分固有响应。我们的定义在绝大多数情况下是没有歧义的。但是如果输入信号中含有对应于系统的特征根的指数信号，则固有响应和强制响应难以区分。3.8卷积的性质需要特别注意卷积的平移特性以及任意信号与延时冲激信号卷积的延时特性，在计算时经常会用到。建议用Laplace变换的观点把卷积积分的微分特性，积分特性，等效特性统一在一起。3.9卷积积分表:()()()atbtatbteeabeuteututab()()()atatateuteutert2()()()2trtutut如果在此表中找不到可用公式，可利用Laplace变换的卷积特性求。此表应结合卷积的性质使用。3.10卷积和表11:[][][]kkkkababaukbukukab[][](1)[]kkkaukaukkauk如果在此表中找不到可用公式，可利用z变换的卷积性质求。此表应结合卷积的性质使用。3.11求有限长度序列卷积和的列表法非常好用的方法，一定要掌握。M．Mixed在这里我把Fourier级数、Fourier变换、离散Fourier级数、离散时间Fourier变换、Laplace变