7-数字信号处理中的有限字长效应

2020/4/27大连理工大学1第7章数字信号处理中的有限字长效应大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2015年11月内容概要•§7.1引言•§7.2A/D转换的量化效应•§7.3数字滤波器系数的量化效应•§7.4数字滤波器运算中的有限字长效应•§7.5离散傅里叶变换的有限字长效应§7.1引言2020/4/27大连理工大学4•有限精度的产生原因–以上各章节讨论的信号与系统，都是无限精度的（即字长是无限的）。但实际上，无论用软件还是硬件实现DSP算法，其精度是有限的。–三个主要因素：–1°A/D转换引入的量化效应。–2°系数用有限二进制数表示时产生量化效应。–3°运算过程中对结果尾数的处理所引起的效应。–4°离散傅里叶变换中的有限字长效应。§7.2A/D转换的量化效应2020/4/27大连理工大学6•A/D转换器是一个将模拟信号转变为数字信号的电子元件，又称为模数转换器。•A/D转换器的分辨率，是指对于允许范围内的模拟信号，它能输出离散数字信号值的个数。•A/D转换的两个环节：–采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程；–量化是将幅度上具有无限精度的离散时间信号进行幅度上的离散化，即量化，使其适合信号处理系统有限精度的要求。7.2.1A/D转换的基本概念与原理2020/4/27大连理工大学7•模拟信号、离散时间信号和数字信号,tnq(),(),()xtxnxn02468101221345672020/4/27大连理工大学8•A/D转换的动态范围–前置滤波器：避免频率混叠。–要求：满足采样定理，阻带衰减40dB，通带波纹较小。–A/D转换量化器的动态范围：–式中，b表示A/D转换的位数。–量化误差：7.2.2A/D转换的量化效应与误差分析221()122bbxnˆ()()()()()enQxnxnxnxn2020/4/27大连理工大学9•几个误差：–量化误差：–补码舍入误差：–补码截位处理误差：ˆ()()()()()enQxnxnxnxn(),222bRqqenq()0Tqen2020/4/27大连理工大学10•改善信噪比的方法–信噪比的定义：–A/D转换器的字长b每增加一位，信噪比增加约6dB。–提高信噪比的方法：•1°增大输入信号，但受到A/D动态范围的限制；•2°增加字长b，但受到信噪比的限制。–将看做随机过程，服从均匀分布。22222222dB10102dB1222/12SNR10log6.0210.7910log(dB)bxxxbexxeSbNaxt()en为误差的方差22212be2020/4/27大连理工大学11•【例7.1】–在数字音频应用中，设A/D转换器的动态范围为0~10V。若希望量化误差的均方根值小于，试确定A/D转换器所需要的字长b=?。•解：–根据均方根误差，其中–解出：–取：2rms/1250μVeeq2rms/1250μVeeq10/2bq15.82b16b§7.3数字滤波器系数的量化效应2020/4/27大连理工大学13•IIR数字滤波器的系统函数及其估计值–将分母和表示为：–的极点表示为：7.3.1IIR数字滤波器系数的量化效应01()()()1MkkkNkkkbzBzHzAzaz01ˆˆ()ˆ()ˆ()ˆ1MkkkNkkkbzBzHzAzaz111111ˆˆˆ()1(1);()1(1)NNNNkkkikikikiAzazpzAzazpz()Azˆ()Azˆ,1,2,,iiipppiNˆ()Az2020/4/27大连理工大学14–极点的量化误差：–推导，得–若系统中某两个极点靠的很近，则值会很小，从而会产生一个很大的，极端情况甚至会使极点移出单位圆，造成系统的不稳定。1,1,2,,NiikkkppaiNa11,1,2,,()NkNiikNiilllippaiNppilppipˆip2020/4/27大连理工大学15•【例7.2】2020/4/27大连理工大学162020/4/27大连理工大学17•几个结论–1°极点间距离问题：极点间距离大，极点的位置灵敏度低。–2°系统阶数问题：高阶系统极点多，其位置灵敏度高。–3°系统结构问题：并联/级联结构，优于直接结构。–极点位置灵敏度：由各系数的偏差所引起的极点的位置偏差。2020/4/27大连理工大学18•FIR数字滤波器的系统函数及单位冲激响应–量化误差的频率特性：7.3.2FIR数字滤波器系数的量化效应ˆ()()()hnhnen0()()MnnHzhnz0ˆˆ()()MnnHzhnz00ˆ()()()()()MMnnnnHzhnzenzHzEzjj0(e)()eMnnEen2020/4/27大连理工大学19–进一步分析–上式表明，在任意频率处，量化误差序列的幅频特性均不大于该误差序列绝对值之和。–当采用舍入量化方式时，有jjj000|(e)|()e|()||e||()|MMMnnnnnEenenenj0(1)|(e)||()|2MnMqEen2020/4/27大连理工大学20•【例7.3】–设FIR数字滤波器的阶数为，要求由量化误差引起的频率响应偏差不大于0.001，即dB。试确定所需要的滤波器系数字长。•解：–由式及所给条件，–有。–这样，可以求出。可取字长为。30M60j0(1)|(e)||()|2MnMqEen(301)2/20.001b13.92b14b§7.4数字滤波器运算中有限字长效应2020/4/27大连理工大学22•定点与浮点运算–运算形式：单位延迟，信号相加，乘系数。–定点运算：•相加：位数字长不变，但可能超出寄存器长度，产生溢出（动态范围变）；•相乘：若原始b位字长，则乘积位数为2b（截断成b位）。–浮点运算：•相加和乘系数；都会使尾数位数增加，都会有舍入或截尾，无动态范围问题。2020/4/27大连理工大学23•极限环振荡的概念–是IIR数字滤波器由于极点设置问题而产生的一种振荡现象，其基本原因是系统函数的极点被设置在单位圆上。–对于IIR数字滤波器而言，如果不能妥善处理系统运算中数据相乘运算所引起的超出字长的问题，就有可能会引起系统的极限换振荡现象，从而使系统变得不稳定。7.4.1IIR数字滤波器中的极限环振荡现象2020/4/27大连理工大学24•【例7.4】2020/4/27大连理工大学25•【例7.4】续2020/4/27大连理工大学26•误差产生的原因–每次乘系数运算，都会产生舍入或截尾误差。•误差的均值和方差•输出误差7.4.2IIR数字滤波器中数据乘法运算的有限字长效应（自行阅读）222[()]0[()],212ebemEenqEenq222()()feenfeenhnmmhn2020/4/27大连理工大学27•【不同结构的舍入误差比较】2020/4/27大连理工大学28•【讨论】–对比这三种结构条件下系统舍入误差的情况，可以看出：•直接型结构的舍入误差最为显著。这是因为这种结构的所有舍入误差都要经过全部网络的反馈环节，误差得到了积累。•并联结构输出误差最小。这是因为每个并联集子系统的舍入误差只影响该子系统自身，与系统的其他部分无关，故误差积累效应最小。•级联系统的误差介于直接结构和并联结构之间。2020/4/27大连理工大学29•M阶FIR滤波器的差分方程：•带误差的输出：•输出噪声方差：–说明：滤波器的阶数越高，由于舍入误差所引起的输出噪声也越大。而字长越长，则舍入误差越小。7.4.3FIR数字滤波器中数据乘法运算的有限字长效应（自行阅读）0()()Mkkynbxnk0ˆ()()()Mkkynynen22112fMq§7.5离散傅里叶变换的有限字长效应2020/4/27大连理工大学31•离散傅里叶变换：–总方差：–DFT输出端信号与舍入误差之间的信噪比为：–信噪比与数据成反比。若给定，且要求，则由上式可以求出字长bit。10()(),0,1,,1NnkNnXkxnWkN2222244123bfeqNNN22dB101010222SNR10log10log6.0220log(dB)bXfbNN2N1010242NdBSNR30dB15b2020/4/27大连理工大学32•作业#12（星期五）：•书稿7.11（不考虑符号位、采用舍入量化），书稿7.122020/4/27大连理工大学33TheEndofThisChapter