导数的应用练习题及详解

一、导数应用1．单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；二、导数应用的细节1、导数与函数的单调性的关系㈠0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，∴0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。㈡0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。∴当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。㈢0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。∴0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。㈣单调区间的求解过程，已知)(xfy（1）分析)(xfy的定义域;（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(xfy在某个区间内可导。2、求极值、求最值。用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值奎屯王新敞新疆1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac0B．b0，c0C．b＝0，c0D．b2－3ac0[答案]D[解析]∵a0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac0，∴b2－3ac0.2．(2014·广东，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)[答案]B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]当0x1时xf′(x)0∴f′(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－πx－π2时，cosx0，∴y′＝xcosx0，当0xπ2时，cosx0，∴y′＝xcosx0.6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案]C[解析]由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.7．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.8．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a≥1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g′(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，∴g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．10.32()32fxxx在区间1,1上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)4解：2()363(2)fxxxxx，令()0fx可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，()fx0，当0x1时，()fx0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C11.若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是___。答案:a2或a-1。提示：2()363(2),fxxaxa∵f(x)既有极大值又有极小值,2363(2)xaxa＝０有两个不同的解。12．f（x）=1+3sinx+4cosx取得最大值时，tanx=解答：f′（X）=3cosx－4sinx=0tanx=43，f(X)在tanx=43时取得最大值，即填43。13设函数32()fxxbxcxxR，已知()()()gxfxfx是奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求()gx的单调区间与极值。思路分析：先求出'()fx,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：（Ⅰ）∵32fxxbxcx，∴232fxxbxc。从而322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc＝32(3)(2)xbxcbxc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6gxxx，从而2()36gxx，令2()36gxx=0，解得2x，由2()360,22gxxxx解得或，2()360,22gxxx解得由此可知，函数()gx的单调递增区间是(,2)和(2,)；单调递减区间是(2,2)；进而得()gx在2x时，取得极大值，极大值为42，()gx在2x时，取得极小值，极小值为42。14设a为实数,函数.)(23axxxxf求)(xf的极值.解：(I)'()fx=32x－2x－1若'()fx=0，则x==－13，x=1当x变化时，'()fx，()fx变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，+∞)'()fx+0－0+()fx极大值极小值∴()fx的极大值是15()327fa，极小值是(1)1fa15已知a为实数，))(4()(2axxxf（1）若0)1(f，求)(xf在[－2，2]上的最大值和最小值；思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有'()0fx,从而得到关于a的不等式。解:(Ⅰ)由原式得,44)(23axaxxxf∴.423)(2axxxf由0)1(f得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.由0)1(f得34x或x=－1,当[2,2]x在变化时，'(),()fxfx的变化如下表x(2,1)14(1,)3434(,2)3)(xF0-04509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272fxffxfff极小极大又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.275016已知函数cbxaxxxf23)(的图象为曲线E.(Ⅰ)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；(Ⅱ)说明函数)(xf可以在1x和3x时取得极值，并求此时a,b的值；(Ⅲ)在满足(2)的条件下，cxf2)(在]6,2[x恒成立，求c的取值范围.解：(1)bxaxxf23)(2,设切点为),(00yxP,则曲线)(xfy在点P的切线的斜率baxxxfk020023)(,由题意知023)(0200baxxxf有解，∴01342ba即ba32.(2)若函数)(xf可以在1x和3x时取得极值，则023)(2bxaxxf有两个解1x和3x，且满足ba32.易得9,3ba.(3)由(2)，得cxxxxf93)(23.根据题意，xxxc9323(]6,2[x)恒成立.∵函数xxxxg93)(23（]6,2[x）在1x时有极大值5（用求导的方法），且在端点6x处的值为54.∴函数xxxxg93)(23（]6,2[x）的最大值为54.所以54c.)(xF递增极大值92递减极小值5027递增