2020届高考数学文科一轮复习(核心素养提升练+课件)：集合与常用逻辑用语--(2)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件(全国卷5年0考)【知识梳理】1.四种命题的定义及其相互关系(1)互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_____与_____,这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.结论条件(2)互否命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_____的否定和命题的_____的否定,这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题.条件结论(3)逆否命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_____的否定和_____的否定,这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题.结论条件(4)四种命题之间的关系2.充分条件与必要条件(1)充分条件、必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)充要条件:若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.【常用结论】1.充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件.(2)若p是q的充分不必要条件,则﹁q是﹁p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件ABp是q的必要不充分条件BAp是q的充要条件A=B【基础自测】题组一:走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)语句x2-3x+2=0是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()提示:(1)×.无法判断真假,故不是命题.(2)×.一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题,它们的真假性相同.(3)√.一个命题与其逆否命题等价.2.命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是()A.若xy,则x2y2B.若x≤y,则x2≤y2C.若xy,则x2y2D.若x≥y,则x2≥y2【解析】选B.根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.3.“在△ABC中,若C=90°,则A,B都是锐角”的否命题为________.【解析】原命题的条件:在△ABC中,C=90°,结论:A,B都是锐角.否命题是否定条件和结论,即“在△ABC中,若C≠90°,则A,B不都是锐角”.答案:在△ABC中,若C≠90°,则A,B不都是锐角题组二:走进教材1.(选修1-1P8T2改编)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数【解析】选C.若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.2.(选修1-1P10T4改编)x2-3x+2≠0是x≠1的________条件.【解析】若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2,此时充分性成立,当x=2时,满足x≠1,但此时x2-3x+2=0成立,即必要性不成立,即x2-3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件.答案:充分不必要考点一四种命题及其关系【题组练透】1.(2018·西安模拟)已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定【解析】选B.命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题.2.命题“已知a1,若x0,则ax1”的否命题为()A.已知0a1,若x0,则ax1B.已知a1,若x≤0,则ax1C.已知a1,若x≤0,则ax≤1D.已知0a1,若x≤0,则ax≤1【解析】选C.命题中,“已知a1”是大前提,在四种命题中不能改变,“x0”是条件,“ax1”是结论.由于命题“若p,则q”的否命题为“若﹁p,则﹁q”,故该命题的否命题为“已知a1,若x≤0,则ax≤1”.3.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解析】选A.可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1,则a+b2,显然为真.其逆命题,即若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b2.4.(2018·北京高考)能说明“若ab,则”为假命题的一组a,b的值依次为________.11ab【解析】①若ab0,则成立;②若a0b,则,0,0,所以不成立;③若0ab,则0成立.综上,只需选取符合“a0b”的一组a,b,就能说明原命题是假命题.11ab11ab11ab1a1b例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等.答案:1,-1(答案不唯一)【规律方法】四种命题的三个处理技巧(1)要分清原命题的条件与结论.当原命题有大前提时,它的其他三种命题要保持大前提不变,只需改变小前提和结论.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.(3)判断一个命题是真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题可举反例.考点二判断充分条件、必要条件与充要条件【典例】(1)设集合M={x|0x≤3},N={x|0x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为N是M的真子集,所以由a∈N能推出a∈M,但是由a∈M推不出a∈N,所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.(2)(2018·天津高考)设x∈R,则“x38”是“|x|2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为x38,所以x2⇒|x|2;当|x|2时,则x2或x-2,不能得到x38,比如x=-3.所以“x38”是“|x|2”的充分而不必要条件.【互动探究】把(1)中的“a∈M”“a∈N”改为:“a∉M”“a∉N”,其他不变,则“a∉M”是“a∉N”的____________条件.【解析】因为N是M的真子集,所以由a∈N能推出a∈M,但是由a∈M推不出a∈N,所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.所以“a∉M”是“a∉N”的充分不必要条件.答案:充分不必要【规律方法】充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法:可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;③确定条件p和结论q的关系.(2)等价转化法:对于含否定形式的命题,如﹁p是﹁q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.(3)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.提醒:判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述,比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p,而p不能推出q”.【对点训练】1.已知α,β均为第一象限角,那么αβ是sinαsinβ的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.由α,β均为第一象限角,可取α=2π+,β=,有αβ,但sinα=sinβ,即αβ不是sinαsinβ的充分条件;又由α,β均为第一象限角,可取α=,β=2π+,有sinαsinβ成立,但αβ,即αβ不是sinαsinβ的必要条件,综上所述,αβ是sinαsinβ的既不充分也不必要条件.33362.(2018·北京高考)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由已知,a,b,c,d是非零实数,“ad=bc”等价于“”,“a,b,c,d成等比数列”等价于“”,所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件.bdacbcdabc考点三利用充要条件求参数值(或范围)【明考点·知考法】由充要条件求参数值作为高考的重要内容,以其考查知识容量大成为高考命题的热点.试题常以选择题、填空题形式出现,考查求参数值,求参数取值范围等问题,解题过程中常渗透转化思想.命题角度1利用充要条件求参数值【典例】设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.【解析】由Δ=16-4n≥0,得n≤4.又n∈N+,则n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4.答案:3或4【状元笔记】根据充要条件求参数值(或范围)的方法,把充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解.命题角度2利用充要条件求参数范围【典例】(2018·黄山模拟)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.【解析】由2x2-3x+1≤0,得≤x≤1,所以条件p对应的集合P=.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,所以条件q对应的集合为Q={x|a≤x≤a+1}.121{x|x1}2方法一:用“直接法”解题﹁p对应的集合A=﹁q对应的集合B={x|xa+1或xa}.因为﹁p是﹁q的必要不充分条件,即BA,所以1{x|x1x2或}，11aa?22 a11a11，，或＋＋，所以0≤a≤.即实数a的取值范围是.121[0]2，方法二:用“等价转化法”解题因为﹁p是﹁q的必要不充分条件,所以根据原命题与逆否命题等价,得p是q的充分不必要条件.所以p⇒q,即PQ⇔11aa?22a11a11，，或＋＋，解得0≤a≤.即实数a的取值范围是.答案:121[0]2，1[0]2，【状元笔记】利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.提醒:含有参数的问题,要注意分类讨论.【对点练·找规律】(2018·安阳调研)已知p:x∈A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.若p是﹁q的充分条件,则实数m的取值范围是________.【解析】因为A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},所以∁RB={x|xm-2或xm+2}.因为p是﹁q的充分条件,所以A⊆∁RB,所以m-23或m+2-1,所以m5或m-3.答案:(-∞,-3)∪(5,+∞)思想方法系列1——等价转化思想在充要条件中的应用【思想诠释】等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑,把要解决的问题通过某种转化,再转化,化归为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而使问题得到圆满解决的思维方式.【典例】已知p:≤4,q:x2-2x+1-m2≤0(m0),﹁p是﹁q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.2x1(1)3－－【解析】因为﹁p是﹁q的必要不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件.由x2-2x+1-m2≤0(m0),得1-m≤x≤1