2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)

2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)1/16对辅助圆的思考及探究锡滨-祝荣耀在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题--辅助圆.“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等.那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.一线段最值线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.Ⅰ．折叠中的线段最值1．（2014年成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A¢MN，连接A¢C，则A¢C长度的最小值是．〖分析〗△AMN沿MN所在直线翻折过程中，始终都保持着MA=MA’，即A点的运动轨迹满足于圆的基本概念，则A点的运动轨迹是以M为圆心，MA为半径的一个圆，则A¢C的最小值即转化到点C到⊙M的上的最小值问题，这时就可以得到A¢C最小值是CM—半径，求出CM的长即可，如下图．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)2/162．（2015年无锡惠山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB¢E的位置，连接AB¢，则线段AB¢的最小值为．〖分析〗△DBE沿DE折叠过程中，与上题一样，始终满足于DB=DB¢，与1相似，即作出辅助圆⊙D，以D为圆心，DB为半径的圆．A为圆外一点，求AB’的最小值即用AD—半径即可，如下图．Ⅱ．圆轨迹中的线段最值3．（2016年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以A（4，3）为圆心，1为半径作圆．P点为圆上一动点，连结OP．点B为OP的中点，点C坐标为（2，0），求BC的取值范围．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)3/16〖分析〗点P的运动轨迹是圆，B为OP中点，随着P的运动而运动，则根据“瓜豆原理”，B的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为确定圆心，则连接OA，取OA中点Q．连接BQ，BQ=1AP=1，则B的运动轨迹是以Q221为圆心，2为半径的圆．再求出CB的最大和最小值=CQ±半径即可．（如下图）4．（2017年无锡外国语中学一模）如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作圆O．点M在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M．B．C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)4/16〖分析〗点M的运动轨迹是圆，点C是由BM旋转90°得出，则根据“瓜豆原理”初步确定点C的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为确定圆心，连接OM，将OM也绕着点B旋转90°，确定O¢，连接O¢C．易证△BOM≌△BO¢C，得出OM=O¢C=1，则可得出点C的运动轨迹是以O¢为圆心，1为半径的圆．再求出AC的最大和最小值=AO¢±半径即可．（如下图）Ⅲ．直角三角形中的辅助圆5.（2017年江阴校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)5/16〖分析〗因为∠APB=90°，由90°所对的弦是直径得出，构造⊙O．以AB中点O为圆心，1为半径作圆，则P是在⊙O上运动，确定CP的最小值为OC—半径即可．（如下图）6.（2016年无锡天一中学二模）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)6/16的边长为2，则线段DH长度的最小值是．〖分析〗因为AE=DF，易得△ABE≌△DCF、△AGD≌△CGD，则∠ABE=∠GAD=∠DCF．因为∠GAD+∠BAH=90°，所以∠BAH+∠ABE=90°，所以∠AHB=90°．则点H是在以AB为直径的圆上运动．确定DH的最小值为OD—半径即可．（如下图）Ⅳ．定弦、定角中的辅助圆7．（2017年无锡滨湖区期中考试）如图，在正方形ABCD，AB=2，若点P满足PD=2，且∠BPD=90°，请求出AP的长．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)7/16〖分析〗因为∠BAD=∠BPD=90°，则可认为B、A、P、D四点是在以BD为直径的圆上，设BD的中点为O，则如图，共圆．得到∠BDA=∠APB=45°，得出∠DPE=45°，则在Rt△PED中，得出DE=PE=，在Rt△AED中，AD=2，得出AE=，则可得AP=6-．如下图即可．8．（2017年威海中考）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)8/16〖分析〗因为△ABC为等边三角形，满足∠PAB=∠ACP，则可确定∠APC=120°，而∠APC所对的边恒定为AC，且长度为定值，则由圆周角的性质可以得出P点的运动轨迹是一个弧，点P是在△APC的外接圆上运动，确定BP的最小值为OB—半径即可．（如下图）这也是我们定弦定角定理的一般模型．9．（2016年无锡惠山区二模）如图，已知A、B是半径为2的⊙O上的两动点，以AB为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠B＝90°，连接OC，则OC的最小值为．〖分析〗因为△ABC为等腰Rt△，则∠BCA=45°为定值，延长BC交⊙O于点D，则∠ACD=135°，连接AD．因为∠B=90°，则AD为⊙O的直径，即AD=4为定值，则满足于上述例7的定弦定角定理模型，可分析得出点C是在一个圆上运动，则需要找圆心．设圆心为O¢，因为∠ACD=135°，则其所对的圆心角∠AO¢D=90°，则O¢是在⊙O上，半径O¢D=2．连接O¢C，则当O¢、O、C三点共线的时候，OC的值最小，为2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)9/1622-2．（如下图）二证明角度关系或求值Ⅰ．角度的倍数关系1．（2016年江苏学大教师月考）如图，AB=AC=AD，如果∠DAC是∠CAB的k倍，那么∠DBC是∠BDC的（）倍A．kB．2kC．3kD．不能确定〖分析〗因为AB=AC=AD，则B、C、D三点可以看成是在以点A为圆心，AB为半径的圆上．则∠DBC与∠CAD是同弧所对的圆周角和圆心角，∠BDC与∠CAB是同2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)10/16弧所对的圆周角和圆心角．∠DAC是∠CAB的k倍，则∠DBC也是∠BDC的k倍．Ⅱ．角度求值问题2．（2015年无锡惠山区校级月考）已知在正方形ABCD中，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C点D在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连结OE，证明OE平分角∠AOB．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)11/16〖分析〗因为∠AOB=∠AEB=90°，则可以说明A、O、B、E四点共圆，以AB的中点O¢为圆心，O¢A为半径的圆．这种有一组对角为90°的四边形称为损矩形，即可采用四点共圆的技巧去解决．很明显，∠EBA与∠AOE是同弧所对的圆周角，则∠EBA=∠AOE=45°，即可说明OE平分角∠AOB．（如下图）Ⅲ．角度最值问题3．（2015年南京市校级月考）如图，O是半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从D运动到点C时，tan∠QCN的最大值为．〖分析〗因为PM⊥AB，PN⊥CD，则四边形MONP为矩形，得到对角线MN=OP=2．说明OQ的长度恒定为1，确定点Q是在以O为圆心，1为半径的2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)12/16圆上，则当CQ与圆相切时，即是∠QCO最大，tan∠QCN的值最大．（如下图）三最值存在问题Ⅰ．线段范围1．（2011年河池中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点．设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是．〖分析〗因为∠ABC=90°，则由直径所对的圆周角等于90°，得出以BP为直径的圆与线段AC有交点，得出题目的解题技巧．则当⊙O与AC相切时，x的值最小，当点P到达C点时，x的值最大．（如下图）2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)13/162．（2015年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（4，0），点B在第一象限，若N为直线y=-x-2上一点，过B作直线l⊥x轴，在l上是否存在一点M，使得∠OMA=2∠ONA，且这样的点N有且只有一个．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)14/16〖分析〗因为题目中满足∠OMA=2∠ONA，在图中我们可以看出以M为圆心，OM为半径的圆正好满足于此条件，则可以理解为辅助圆．若这样的点N有且只有一个，则说明⊙M与直线y=-x-2相切即可，同时也要注意图形的对称性，M存在另外一个点，与图中的M点关于x轴对称即可．（如左图）Ⅱ．路程长或面积问题3．（2015年无锡惠山区校级月考）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE＝1，已知点P为y轴上一动点，连接2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)15/16EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，程中，点H的运动路径长为．25）运动到原点O的过4〖分析〗因为∠APB=90°，且OE为定长，则点H在以OE为直径的圆上运动．点P由点F为起点，O为终点运动，则点H的运动轨迹是一段弧，圆心角为∠OO¢H，则求出∠OO¢H的度数即可，而∠OO¢H=2∠OEF，求出∠OEF的度数即可．（如下图）4．（2015年无锡外国语月考）如图，圆O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，BC⊥BP交直线PA于点C，则△ABC的最大面积为．2018中考数学专题大讲堂第三讲-对辅助圆的思考及探究(Word版)16/16〖分析〗因为BC半径为2，弦AB=2，则∠P=30°，BC⊥BP，则∠C=60°．因为∠C=60°，且AB=2，则可以得出点C是在△ABC的外接圆上运动，也可以理解为我们上面讲解的定弦定角定理．要使得△ABC的面积最大，则C到AB的距离最大，如下图即可．在辅助圆方面还需要学生多多的做练习，理解我们出现辅助圆的情况的一般要求，同时具体情况具体分析，需要学生具有很强的临场发挥能力，这部分的知识点活跃在模拟考试及中考中，还是需要学生能理解掌握，方便与学生能运用技巧性方法去解决实际困难问题．