非线性系统的分析

本章主要内容本章介绍了非线性系统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其对系统的影响，主要阐述了如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同时简要介绍了改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。本章重点要求正确理解非线性系统与线性系统的差异，重点掌握利用描述函数法对非线性系统进行分析，了解非线性系统的特点。7-1非线性系统的基本概念非线性系统的数学描述在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，称此系统为非线性系统。图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。弹簧力的特性如图7-1-1b所示。图7-1-1a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统图7-1-1b)弹簧力的非线性特性考虑到作用于质量m上的全部力，其运动可用下面的非线性微分方程描述：Fyykdtdyfdtydmv22(7-1-1)描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性微分方程，其形式为y(t)u(t),,,,,,1122—输出函数——输入函数—式中udttyddttyddttdytythdtydmnnnn为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2)的解。通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。图7-1-2非线性系统框图的基本形式式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的框图表示。图7-1-3质量、弹簧、阻尼系统的框图当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。非线性特性的分类图7-1-4典型非线性特性1、死区特性如图7-1-4a所示，其数学描述是atxtxatxkatxty)(sgn)(0(7-1-3)1sgn01sgn0sgntantxtxtxtxtxkka时，当；时，—当—，—线性输出特性的斜率——死区宽度；—式中死区（不灵敏区）特性的影响•增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。•减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。2、饱和特性如图7-1-4b所示，其数学描述是atxtxkaatxtkxty)(sgn)((7-1-4)tankka—线性区特性的斜率，——线性区宽度；—式中饱和特性的影响•使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。•使系统的快速性和稳态跟踪精度下降3、间隙特性如图7-1-4c所示，其数学描述是0sgn00)()()(tytytytxcatxkatxkty(7-1-5)tankka，—线性输出特性的斜率——间隙宽度；—式中间隙（回环）特性的影响•降低了定位精度，增大了系统的静差。•使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。4、继电器特性如图7-1-4d所示，其数学描述是0,0,a)(sgn0,00,0)()()()(txtxtxtxmatxMmatxMtxtxMmatx-aatx-maty(7-1-6)继电器特性的影响•理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。•可利用继电控制实现快速跟踪。•带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如图7-1-5a所示。—常值输出。——继电器释放电压；——继电器吸合电压；—式中Mmaa如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的单值继电器特性，如图7-1-5b所示。图7-1-5几种特殊的继电器特性如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回环的继电器特性，如图7-1-5c所示。非线性系统的特点1、稳定性非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。例7-1-1比较以下两个系统的特征。其一为线性系统，描述其运动的微分方程为)()(txtx另一为非线性系统，其微分方程为解)(1)()()(2)(txtxtxtxtx分析比较两者的时间响应。态。线性系统的解是表示以上系统的初始状以0xtextx0)(非线性系统的解是ttexxextx0001)(非线性系统的时间响应如图7-1-6所示。图7-1-6非线性系统的时间响应非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线性系统一样，都是在t=0时，时，当10x0)(xtx随着时间的增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也是稳定系统。时，当10x线性系统的响应仍与时一样。10x但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散。系统呈不稳定状态。到2、系统的自持振荡在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。例7-1-2范德波尔方程是00)()(12)()(2txtxtxtx00)(1)(2)()(2txtxtxtx或现分析其响应的特征。解二阶系统的微分方程是：0)(22)()(txnntxtx将此方程与范德波尔方程比较可知：。增长而发散，如图的零输入响应将随时间，则系统时，等效阻尼比当71701)(1)(2txtx增长而逐渐收敛。的零输入响应将随时间，则系统时，等效阻尼比当01)(1)(2txtx图7-1-7非线性系统的自持振荡的自持振荡。性系统振荡形式，这就是非线比时，系统响应呈等幅，即零阻尼再发散。而阻尼比为零的状态而不，即而发散至的响应均将随时间推移状态，而所有，即等效阻尼比为零的收敛到而的响应最终随时间推移由此推论，此系统1)(1)(1)(1)(1)(txtxtxtxtx3、频率响应畸变对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性元件后，其响应发生畸变的情况。图7-1-8间隙特性的正弦响应7-2二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性系统的特征二阶线性系统的微分方程为022xnnxx(7-2-1)方程组：可写成下列一阶微分，则式如令)127(1xx2122221xxxnnxx(7-2-2)合并以上两式，得到2122221xxxnnxx则上式可写为：考虑到,/2,/121dtdxdtdxxx2122212xxxdxdxnn(7-2-3)的相轨迹方程。系统的关系式就是二阶线性与解得式21)327(xx另一方面，式(7-2-1)的特征方程为0222nn(7-2-4)于是特征根为1,221nn下面分别情况加以分析：就成为：共轭虚根。此时方程为、动状态，时，系统处于无阻尼运当)327(0)1(2112221xxdxdxn分离变量后，对上式等号两侧分别积分得22221Rxxn为初始状态。、式中20102202102,xxxxRn上式所表示的系统的相轨迹是一族同心的椭圆，每一椭圆对应一个简谐运动(参见图7-2-1a)。在相平面原点处有一孤立奇点，被周围封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点。位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对数螺旋线，收敛于相平面原点(参见图7-2-1b)。此种奇点称为稳定的焦点。2110)2(、动状态，时，系统处于欠阻尼运当为、动状态，时，系统处于过阻尼运当211)3(位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线(参见图7-2-1c)。相平面原点为奇点，并称其为稳定的节点。系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相轨迹如图7-2-1d所示。此种奇点称为鞍点。位于根平面右半部时，位于根平面左半不部，为实根，且、当2121)4(一对为位于根平面右半部的、时，当2101)5(共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线(参见图7-2-1e)。此种奇点称为不稳定的焦点。正实根。系统的零输入响应为非周期发散的，对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线族(参见图7-2-1f)。此种奇点称为不稳定的节点。两个为位于根平面右半部的、时，当211)6(二阶非线性系统的特征二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描述可写为)(),()(2)(),()(1212211txtxfttxtxftxx(7-2-5)(7-2-6)式(7-2-5)、式(7-2-6)所表示的系统的平衡点是[0，0]。根据泰勒定理，将函数展开成下式21ff及21222212121221121211121120021100111211,aa,,aa,0,0,2121xxrxxxxfxxrxxxxrxxfxxffxxfxxxx(7-2-7)—余项或称高次项—、、式中210021,21rrjixfaxxjiij于是，式(7-2-5)、式(7-2-6)在其平衡点[0，0]附近小范围内线性化方程为)(a)(a)(2)(a)(a)(1222121212111txtxttxtxtxx(7-2-8)显然，线性化系统的平衡点仍为[0，0]在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某个适当小范围内有着相同的定性特性。表7-2-1总结了这些情况。表7-2-1线性化系统与非线性系统的相轨迹特征解例7-2-1范德波尔方程是0)()(12)()(2txtxtxtx试分析其相轨迹的特征。(7-2-9))()(1txtx如令则范德波尔方程可写成下列形式)(1)(2)()(2)()(122112txtxtxttxtxx(7-2-10)(7-2-11)相平面原点[0，0]是系统的平衡点。将式(7-2-11)与式(7-2-2)比较可知：随时间增长而发散。则系统的零输入响应将，时，等效阻尼比当01)(1)(,02txtx此非线性系统在平衡点附近小范围线性化方程为)(2)()(2)()(1212xxtxttxtxx(7-2-12)称为自持振荡。的振荡，对应于系统响应出现的封闭曲线就是极限环所示。这一孤立，如图它将是相轨迹的一部分闭曲线，知在相平面上存在一封不存在其他平衡点，故相平面上状态向外发散。又因在都随时间增长离开平衡出发的相轨迹状态收敛；而所有的从初始，增长向平衡状态出发的相轨迹都随时间始状态所有从初增长而逐渐收敛。由于的零输入响应将随时间，则系统时，等效阻尼比当2271)(]00[1)(01)(1)(,010102txtxtxtx图7-2-2范德波尔方程在0时的相轨迹7-3非线性系统的相平面分析用相轨迹分析非线性系统用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单易行，能得到比较直观明确的结论。下面将举例说明。例7-3-1试分析图7-3-1所示含有继电器的非线性系统。其中继电器特性部分的参量是a=0.2，m=0.5，M=0.2，线性部分的参量K=5。解线性部分的方程为图7-3-1例7-3-1的系统框图Kyec