数学分析--反常积分习题解答

§2反常积分的收敛判别法一.无穷限积分收敛的Cauchy准则:定理8.2.1(Cauchy收敛原则)adxxf)(反常积分收敛,,()AAAAAfxdx有0,,A反常积分不收敛的A语言如何表达？绝对收敛定义8.2.1设f在任何有限区间,aA上可积,如果adxxf)(收敛,称adxxf)(为绝对收敛.收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛.绝对收敛→收敛，反之不成立反例.32232,212,232212,2122,2122,22322232nxnnxnxnnxnxnnxxfnnnnnnO2132n21nyx212122n00dxxfndxxfn1211lim20二非负函数无穷积分判敛法:若非负函数f在任何有限区间,aA上可积，则有)(AF()Aafxdx单调不减，因此f在[,)a上不可积()afxdx比较判别法定理8.2设定义在),[a上0()(),fxKxK是正数，则(ⅰ)当()axdx收敛时,adxxf也收敛;(ⅱ)当adxxf发散时,()axdx必发散.比较判敛法的极限形式:推论(比较判敛法的极限形式)设在区间上函数则ⅰ〉同敛散:ⅱ〉ⅲ[,)a()0,()0,xfx()lim,()xfxcx0()()aacfxdxxdx和0()()aacxdxfxdx时，()()aacxdxfxdx时，Cauchy判敛法:在比较判敛法中,以为比较对象,即取则得到以下的Cauchy判敛法.以下取a0.1pxdx1(),pxx定理8.2.3(Cauchy判敛法)设在上恒有为正常数.(1)若(2)若[,)(0,)a(),1pKfxpx();afxdx()0,fxK(),1pKfxpx().afxdx例讨论121xxxdx的敛散性.22111xxxxxx1xxx推论(Cauchy判敛法的极限形式)设是在上恒有且则(1)(2)lim(),pxxfxc[,)(0,)a()0,fx0,1(),acpfxdx0,1().acpfxdxCauchy判敛法的极限形式:lim()pxxfxc()pcfxx0,c如果则例讨论积分的敛散性.0521dxxxf例：讨论积分0xxedx的收敛性。1dxexx比较判别法是对所给的被积函数做适当的放大(如果预判为收敛)或缩小(如果预判为发散)将不易判别的函数转化成易于判定敛散性的函数甚至是已知敛散性的函数所谓适当，即是放大后的无穷积分应为收敛的，而缩小后的无穷积分应为发散的对于简单的函数进行适当的放大或缩小是可能的，但若被积函数比较复杂,则要适当放缩就不易了，可用极限形式的判别法三.一般函数反常积分的收敛判敛法:定理8.2.4(积分第二中值定理)设函数f(x)在区间[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调.则使[,],ab()()()()()().bbaafxgxdxgafxdxgbfxdx证只就函数f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可导的特殊情况施证.(1)若g(x)在[a,b]上单调增加,且则使(2)若g(x)在[a,b]单调减少,且则使()()()();bbafxgxdxgbfxdx()()()().baafxgxdxgafxdx()0,ga[,],ab()0,gb[,],ab积分第二中值定理的特例:Abel判别法:设积分收敛,g(x)在[a,b]上单调有界,则积分收敛.()afxdx()()afxgxdxDirichlet判别法:设在区间上有界,g(x)在[a,b]上单调有界且,则积分收敛.()()AaFAfxdx),[a0)(limxgx()()afxgxdxAbel判别法和Dirichlet判敛法统称为A—D判别法。定理8.2.5例讨论积分的敛散性.1sindxxx例讨论积分的敛散性.1sinarctanxxdxx四.无界函数反常积分收敛判敛法:无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反常积分.以只有一个奇点为例,列出相应的结果如下:xb定理8.2.1’(Cauchy收敛原则)反常积分收敛()bafxdx'0,0,,'(0,),().bbfxdx定理8.2.3’(Cauchy判敛法)设在[a,b)上有若当x属于b的某个左邻域时,存在正常数K,使(1)若(2)若()0,fx0[,)bb(),1()pKfxpbx();bafxdx(),1()pKfxpbx().bafxdx推论(Cauchy判敛法的极限形式)设在上恒有且则(1)(2)lim()(),pxbbxfxl[,)ab()0,fx0,1(),balpfxdx0,1().balpfxdx定理8.2.5’(1)Abel判别法:设积分收敛,g(x)在[a,b]上单调有界,则积分收敛.()bafxdx()()bafxgxdx(2)Dirichlet判别法:设在区间上有界,g(x)在[a,b)上单调有界且,则积分收敛.()baFf(0,]balim()0xbgx()()bafxgxdx例讨论积分的敛散性.exxdxp10ln例证明积分当时收敛.1011sinpdxxx2p例判别积分的收敛性:(ⅰ)10lndxxx;(ⅱ)21lndxxx例讨论反常积分011)(dxxx的敛散性.ln()10xxdxp例：讨论反常积分的敛散性：01时，积分收敛12p时，积分收敛例设f在,0上连续,ba0.证明:(ⅰ)如果kxfxlim,则abkfdxxbxfaxfln00;(ⅱ)如果0dxxxf收敛,则abfdxxbxfaxfln00.