高中数学(人教A版) 必修四 2.3.2等比数列性质及简单应用

1、复习:等比数列概念一、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann二、等比数列的通项公式为na，它的图象又是怎样？11nnqaa三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.abG{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：an=am+(n-m)d猜想１：性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an-k+an+k猜想2：性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想４：性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。猜想５：由等差数列的性质，猜想等比数列的性质{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：an=am+(n-m)d性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项则2an=a。

2、n+k+an-k(P39)猜想2：性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aqknknnbbb2猜想1：nmmqbnb若bn-k,bn,bn+k是{bn}中的三项(P53)则猜想3：若n+m=p+q则bn·bm=bp·bq由等差数列的性质，猜想等比数列的性质性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列.2q猜想４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为.(可推广)猜想５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.(例题4)若数列{an}是公比为q的等比数列,则(1)当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递增数列;当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q0时,{an}是摆动数列.(2)an≠0,且anan+20.(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两。

3、项的积都相等,且等于首末两项的积.(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an•bn}是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(8)数列}1{na是公比为q1的等比数列.(9)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am,an,ap成等比数列.例2在等比数列na，已知51a，100109aa求18a.解：∵109181aaaa∴110918aaaa2051003、在等比数列nb中，34b，求该数列前七项之积.45362717654321bbbbbbbbbbbbbb53627124bbbbbbb∴前七项之积2187333732解：869786754920)1(4aaaaaaaaaann则，若中，在等比数列：例605040299,101610)2(aaaxxaa的两个根，则是方程在正项等比数列中，764解题技巧的类比应用：三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.•分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d。

4、.由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数为：，qa21a,aq.再由方程组可得：q=2或即这三个数为2，4，8或8，4，2.练习:•⒊在等比数列{an}中，a15=10,a45=90,•则a60=__________.•⒋在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.270480或-2702,,aqaqa：解：设原来的三个数是补充:三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.)32(22aqaaq)32()4(22aqaaq则必有①②aaq24由①得：95a2a5,q代入②得：或538,q故原来的三个数是：2,10,50.或95451444,938,nnSna.241nnaS,11a练习:已知数列中，是它的前项和，并且,2nnnacnc2设求证数列,21nnnaabnb1设求证数列是等比数列；是等差数列.11a32121aab证:1∵∴,51421221aaSaa24,12nna。

5、S241nnaS∵,两式相减得：nnnaaa124)2(22112nnnnaaaa即：nnnaab21∵∴nnbb21nb123nnb即是公比为2的等比数列2∵nnnac2∴11111122222nnnnnnnnnnnbaaaacc将123nnb代入得：431nncc∴nc成等差数列。