高一函数性质复习讲义

1函数性质复习一、函数单调性概念以及证明知识点一:复合函数单调性例1.已知函数y=f(x)在R上是增函数，求[来源:]证：若y=g(x)在（a,b）上是增函数，则函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数。[来源:]结论：练习：设f(x)0,且为区间D上的减函数，则下列函数：y=3-2f(x),y=)(21xf,y=[f(x)]2,y=)(1xf中为增函数的个数是（）A.1B.2C.3D.4知识点二：函数单调性的应用例2已知函数f(x)的定义域为),0(，且f(x)在),0(上是增函数，解不等式f(x)-f(-x+21)0.]例3.已知函数f(x)对一切x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)在R上满足f(-x)=-f(x)；(2)若x0时，f(x)0,判断f(x)的单调性。例4．如果函数f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。练习：已知f(x)=f(4-x),xR,当x2时，f(x)为增函数，设a=f(1),b=f(4),c=f(-2),试确定a,b,c的大小关系。2随堂练习：1.函数f(x)=),1(5),1(12xxxx,则f(x)的递减区间是（）Ａ．),1[Ｂ．)1,(Ｃ．),0(Ｄ．]1,(２．函数ｙ=f(x)在R上单调递增，且f(2m)f(m),则实数m的取值范围是（）A.)1,(B.),0(C)0,1(D.),0()1,(3.若函数xxkxf)(在)0,(上是减函数，则k的取值范围是()A.k=0B.k0[来源:]C.k0D.k04.函数22()22fxxaxaa在区间]3,(上是单调递减，则实数a的取值范围是()A.]3,(B.),3[C.]3,(D.),3[5.函数xxy2124的单调递增区间是_________.6.已知图像关于y轴对称的函数在[0，]上单调递增，那么f(-),f(2),f(-2)之间的大小关系是__________.7.函数||xy在),[a上是减函数，则a的取值范围是___________.8.函数xxy12的单调递增区间是_________.3二、函数最值方法汇总：1．函数值域是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则两要素唯一确定，由于函数的值域是函数值的集合，因此，函数的值域必须用集合或区间表示。2。求函数的值域没有通行通法，只能依据函数解析式的结构特征确定相应的解法，常用方法有：⑴与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）[来源:数理化网]⑵形如dcxbaxy的形式，可用换元法。即令dcxt，转化成二次函数求值域（注意t的取值范围）⑶形如)0(cdcxbaxy型的函数可借助反比例函数，求其值域。这种函数的值域是cayy|⑷单调性法：确定函数的定义域（或定义域上的子集上）的单调性求出函数值域的方法。形如dcxbaxy（a,b,c,d均为常数，且0ac），看a,c是否同号，若同号用单调性求值域；若异号则用换元法求值域.⑸函数)0(xxkxy，当0k时利用单调性结论，当0k利用对构函数求解。⑹数形结合法：利用函数的解析式求所表示的几何意义（有时需要对解析式进行必要的变形），借助几何方法或图像求函数值域注意：因为函数的定义域制约函数的值域，因此无论采取什么方法求值域，均应先考虑函数的定义域。思路方法：题型一：配方法：（二次函数在闭区间上的最值问题）例1.（1）求)25(322xxxy的值域；（2）求函数742xxy的值域；（3）求函数225xxy的值域。题型二：换元法：（转化为二次函数型）[来源:]例2.求下列函数的值域：（1）135xxy；（2）xxy214题型三：分离常数（分数式）例3.求下列函数的值域：（1）)112(131xxxxy且（2）122xxxxy[来源:数理化网]题型四：对钩函数例4.（1）)41(4xxxy（2）求函数32xxy在区间2,1上的最大值和最小值。题型五：数形结合：例5.求下列函数的值域|2||1|xxy三、函数奇偶性1．偶函数：⑴一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf,那么函数xf就叫做。⑵偶函数的图像关于对称。⑶若xf、xg都是偶函数,那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg为函数，xfxg为函数.当xg≠0时，)()(xgxf为函数。2.奇函数：⑴一般地，如果对于函数xf的定义域内任一个x，都有xfxf，那么函数xf就叫做。⑵一个函数如果是偶函数或者是奇函数，我们称这个函数具有性。⑶奇函数的图像关于对称。⑷若xf，xg都是奇函数，那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg是____函数，xfxg是____5函数，xgxf是____函数，当xg≠0时，)()(xgxf是____函数。3.常函数为常数ccxf是函数典形分析题形一判断函数的奇偶性[来源:]例1判断下列函数的奇偶性,说明理由；并总结学过的常用函数的奇偶性。⑴()fx=x2-1x，1,4x[来源:]⑵1xxfxx11，1,1x⑶xf=2x+11x⑷RxxfxfxG,[来源:]⑸022axaaxxf，例2判断函数)0(32)0(0)0(32)(22xxxxxxxxf是否为奇函数，并证明。[来源:]6跟踪练习1.判断下列函数是否为偶函数⑴）（）（01100)10(1)(xx　xxf⑵xf=12x+12x总结：判断奇偶函数的常用方法题型二奇偶性的简单应用★例3设函数xf对于任意,xyR，都有fxyfxfy求证：xf是奇函数。例4若函数2(1)23fxmxmx是偶函数，求m的值.[来源:数理化网]例5已知xf是偶函数,它在区间,ab上是减数0ab，试证:xf在区间,ba上是增函数（若xf为奇函数，满足上面条件，则xf在区间,ba上是，并证明）。随堂练习1.已知函数1fx2x，xR则（）A.fxfxB.fx为偶函数C.0fxfxD.fx不是偶函数2.若fx是偶函数，则kfx（k为常数）A.是偶函数B.不是偶函数C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数3.函数5fxxx为（）A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.函数fx=0,1.0,1xx则fx为（）A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5.已知fx为奇函数，则fxx为A奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数7四、函数奇偶性应用1.定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断xfxf之一是否成立.2.验证法:在判断xf与xf的关系时,只需验证0xfxf及)()(xfxf=1是否成立即可.3.图像法:奇（偶）函数等价于它的图像关于原点(y轴)对称。4.性质法:利用上述性质来判断,即利用奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性,以及复合函数的奇偶性来判断,⑴在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.⑵对于复合函数xgfxF；若xg为偶函数,fx为奇（偶）函数，则xF都为偶函数；若xg为奇函数，xf为奇函数,则xF为奇函数;若xg为奇函数，xf为偶函数,则xF为偶函数.★例1已知fx是奇函数，且当0x时，2fxxx，求0x时，fx的表达式。例2函数0fxx是奇函数，且当x0，时是增函数，若10f，求不等式102fx的解集。例3已知753()6fxxbxcxdx，且(3)12f，(3)f=___例4.已知函数fx,当,xyR时,恒fxyfxfy.且当0,0xfx时，又112f（1）求证：fx是奇函数；（2）求证：()fx在R上是减函数；（3）求fx在区间2,6上的最值.例5．设上递增，上是偶函数，在区间在0R)(xf，且有3221222aafaaf，求a的取值范围。[来源:]随堂练习1.已知fx为偶函数且12f，则1f等于（）8A.-1B.-2C.0D.22.已知点1,3是偶函数fx图像上一点，则1f等（）A.-3B.3C.1D.-13.若点1,3在奇函数yfx的图象上，则1f等于A.0B.-1C.3D.-34.已知8)(35bxaxxxf，10)2(f，)2(f=___