离散数学-第8讲-环和域

1离散数学（二）环和域环11整环2主要内容:环和域的定义重点:重点和难点:域3域的定义难点:一、环环的定义：设A,+,是一代数系统,+和是二元运算，若满足(1)A,+是阿贝尔群(加法群)．(2)A,是半群．(3)乘运算对加运算+可分配，即对所有a,b,cA有a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=(ba)+(ca)称代数结构A,+,为环(ring).例1(a)I,+,·是个环,因为I,+是加法群,0是么元;I,·是半群,乘法在加法上可分配。(b)Nk,+k,×k是个环,这里Nk={0,1,…,k-1},k＞0,+k和×k分别是模k加法和模k乘法。因为Nk,+k是阿贝尔群,0是么元;Nk,×k是半群,对任意元素a,b,c∈Nk,有又×k可交换,所以,乘法在加法上可分配。)()()])(mod[())(mod()])(mod([)])(mod[()(cabakcakbakcbakcbacbakkkkkkkk一、环定理1：设R,+,·为环，0是加法么元,那么对任意a,b,cR（1）a·0=0·a=0(加法么元必为乘法零元)（2）(-a)·b=a·(-b)=-(a·b)（3）(-a)·(-b)=a·b（4）a·(b-c)=a·b-a·c（5）(b-c)·a=b·a-c·a其中,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记为a-b。证明(3)(-a)·(-b)+(-a)·b=(-a)·[(-b)+b]=(-b)·0=0(a·b)+(-a)·b=[a+(-a)]·b=0·b=0所以(-a)·(-b)=a·b(4)a·(b-c)=a·[b+(-c)]=a·b+a·(-c)=a·b+[-(a·c)]=a·b-a·c(5)(b-c)·a=[b+(-c)]·a=b·a+(-c)·a=b·a+(-c·a)=b·a-c·a二、环、整环含零因子/无零因子环的定义：R,+,·是环,a,b∈R,若a≠0且b≠0,但是a·b=0,则称R,+,·是含零因子环,a、b称为零因子。不含零因子的环称为无零因子环。R,+,·为无零因子环∀a,b∈R,a≠0且b≠0时必有a·b≠0。即a·b=0时，有a=0或b=0定理2：环R,+,·是无零因子R,+,·满足可约律。证明：(1)必要性：∀a,b,c∈R,且a≠0，若a·b=a·c,则有a·b-a·c=0,a·b-a·c=a·b+a·(-c)=a·(b-c)=0。由于无零因子，则b=c,可见R,+,·满足可约律。(2)充分性：∀b,c∈R,b·c=0,证明b=0或c=0。如果b·c=0且b≠0，那么b·c=b·0，根据可约律可得c=0；如果b·c=0且c≠0，那么b·c=0·c，根据可约律可得b=0。可见环R,+,·无零因子。二、环、整环整环的定义：R,+,·是环,(1)若R上运算·可交换的,称〈R,+,·〉是可交换环;(2)若R关于运算·有么元，称〈R,+,·〉是含么环;(3)如果R,+,·是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。例2(a)I,+,·是整环。因为·可交换,1是乘法么元,可约律成立。二、环、整环整环的定义：R,+,·是环,(1)若R上运算·可交换的,称〈R,+,·〉是可交换环;(2)若R关于运算·有么元，称〈R,+,·〉是含么环;(3)如果R,+,·是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。例2(b)N6,+6,×6不是整环,因为3×62=0,3和2是零因子。但N7,+7,×7是整环，N7={0,1,2,3,4,5,6}，根据定理2，只需证明cbacabaNcba0,,,777反证：假如b≠c,不妨设bc,存在整数i,j使得ab=7i+r，ac=7j+r(0=r=6,ij)两式相减可得，a(b-c)=7(i-j)，那么7|a(b-c)，但由于0a7,0b-c7，所以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。三、域域的两个定义：如果F,+,·是整环,|F|＞1,F-{0},·是群,则F,+,·是域(定义I)。域也可以如下定义(定义II)：(1)F,+是阿贝尔群，(2)F-{0},·是阿贝尔群，(3)乘法对加法可分配。例如Q,+,·、R,+,·都是域；I,+,·不是域(因为I-{0},·不是阿贝尔群)。三、域域的两个定义的等价性：由整环定义容易得出，定义I定义II下面证明定义II定义I：(1)F-{0}≠Ø知|F-{0}|0,即|F|1；(2)F-{0},·是阿贝尔群知F-{0},·是群；(3)证明F,+,·是整环。F,+,·是环：F,+是阿贝尔群；F,·是半群；乘法对加法可分配；F-{0},·是阿贝尔群,故F-{0}上·可交换,可知F上·可交换；F,+是阿贝尔群,可知F,+,·含么元0；F-{0},·是阿贝尔群,F-{0}关于·封闭,即∀x,y∈F-{0}有xy∈F-{0},即∀x,y∈F,x≠0,y≠0,有xy≠0,也就是说F,+,·无零因子。三、域域一定是整环，但整环不一定是域例如I,+,·是整环但不是域，因I-{0},·不是阿贝尔群。定理2有限整环必定是域。证明：设A,+,·是一个有限整环，为了证明A,+,·是域，依据域的定义II,只要证明A-{0},·是阿贝尔群。A,+,·是整环，可知A,·是半群，且含有么元，故A关于·封闭，可结合，有么元，当然有A-{0}关于·封闭，可结合，有么元。因此只要说明∀x∈A,x-1存在即可。因为A-{0}有有限个元素，设|A-{0}|=n，所以x的阶k=n,xk=e,xk-1·x=x·xk-1=e,所以x的逆元x-1=xk-1。因此A-{0},·是阿贝尔群，故A,+,·是一个域。三、域例3：Nk,+k,×k是一个域,当且仅当k是质数。证明：必要性(思路：已知Nk,+k,×k是一个域，证明k是质数。我们证明其逆反命题：若k不是质数，则Nk,+k,×k不是一个域)。若k不是质数,那么k=1或k=a·b。k=1时,N1={0}。只有一个元素故不是域;k=a·b时,则a×kb=0,a、b是零因子,所以Nk,+k,×k不是域。充分性(思路：在例1(b)中已证明Nk,+k,×k是一个环，根据域的定义II，我们只需证明{Nk-0},×k是阿贝尔群)。(1)对Nk-{0}中任意元素a和b,a×kb≠0,所以Nk-{0}对×k封闭；(2)×k是可结合；(3)运算×k的么元是1；(4)×k是可交换的；(5)对每一元素a∈Nk-{0}都存在一逆元。三、域例3续：证明对每一元素a∈Nk-{0}都存在一逆元。(反证法)设b,c是Nk-{0}中任意两个元素,b≠c,现证a×kb≠a×kc。若a×kb=a×kc,则ab=nk+r,ac=mk+r不妨设b＞c,于是n＞m,ab-ac=nk-mka(b-c)=(n-m)k(1)因a和(b-c)都比k小，而k又是质数,(1)式不可能成立。这样就证明了若b≠c,则a×kb≠a×kc。于是a和Nk-{0}中的k-1个数的模k乘法,其结果都不相同,但又必须等于{1,2,…,k-1}中的一个,故必存在一元素b,使a×kb=1。这就证明了任意元素a存在逆元。作业：P222习题6.81、3、13、1414谢谢同学们!