第一类曲面积分

第十章第四节机动目录上页下页返回结束第一类曲面积分二、第一类曲面积分的概念与性质一、问题的提出三、第一类曲面积分的计算oxyz例：设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得nk1M),,(kkk“分割，近似,求和,取极限”的方法,求质量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束一、问题的提出二、第一类曲面积分的概念定义：设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有定义，把分成n小块iS（iS同时也表示第i小块曲面的面积），在iS上任意取定一点),,(iii，做和niiiiiSf1),,(，令}{max1的直径iniS，若不论iS怎样分及点),,(iii怎样取，这和式的极限都存在,则称此极限值为函数),,(zyxf在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.记为dSzyxf),,(，即机动目录上页下页返回结束dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10，叫做被积函数其中),,(zyxf.叫积分曲面.叫面积元素dS机动目录上页下页返回结束说明：（1）曲面的质量：dSzyxm),,(（2）若1),,(zyxf，则dS的面积。（3）若是封闭曲面，则积分号记为。则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.Szyxgkzyxfkd),,(),,(21•线性性质.SzyxgkSzyxfkd),,(d),,(21机动目录上页下页返回结束•对积分域的可加性.,,21则有Szyxfd),,(1d),,(Szyxf若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面若函数),,(zyxf在曲面上连续，则在上至少存在一点),,(000zyx，使得SzyxfdSzyxf),,(),,(000，其中S表示的面积。若在曲面上，),,(),,(zyxgzyxf，则dSzyxgdSzyxf),,(),,(特别地，dSzyxfdSzyxf|),,(|),,(机动目录上页下页返回结束•中值定理.•保号性.若存在),,(000zyx，使),,(),,(000000zyxgzyxf，则dSzyxgdSzyxf),,(),,(关于曲面的轮换对称性：曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线x=y=z对称。如果曲面Σ有轮换对称性，它的方程F(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F的表达式。机动目录上页下页返回结束与第一类曲线积分类似，第一类曲面积分也具有奇偶对称性及轮换对称性。•对称性.机动目录上页下页返回结束1、如果曲面Σ有轮换对称性，那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换，积分值不会改变。即2、如果曲面Σ关于平面y=x对称，则dSyxzfdSzyxf),,(),,(dSyzxfdSxzyf),,(),,(dSzxyfdSzyxf),,(),,(曲面Σ关于平面y=z或z=x对称有类似的性质。oxyz定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Szyxfd),,(yxDyxf),,(三、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:yxD),,(kkkyxk)(机动目录上页下页返回结束nk10lim把分成n个小区面iS，设iS在xoy平面上的投影为xyk)(，yxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),,(22)),(,,(kkkkzf(光滑)机动目录上页下页返回结束nk10lim;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyx(,,)fxyzdS),(:.1yxzz若曲面则按照曲面的不同情况分为以下四种情形：机动目录上页下页返回结束;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,(则),(.2zxyy：若曲面.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(),(.3zyxx：若曲面则机动目录上页下页返回结束4．若曲面的方程为：),(vuxx，),(vuyy，),(vuzz，Dvu),(，则(,,)fxyzdSDvuzvuyvuxf)),(),,(),,((dudvvuyxvuxzvuzy222),(),(),(),(),(),(||uuuvvvijkxyzdudvxyzDvuzvuyvuxf)),(),,(),,((解：其中1：0z,2：2xz,3：122yx.投影域xyD：122yxxyDdxdyx11321机动目录上页下页返回结束计算xdS,其中是圆柱面122yx,平面2xz及0z所围成的空间立体的表面.例1：2xdS,01xdS由对称性，易知0xzoy112xz123xyD讨论3时,将投影域选在xoz上.（注意：21xy分为前后两片）3xdS31xdS32xdS（前后两片投影相同）xzDzxdxdzyyx2212机动目录上页下页返回结束:11,02xzDxzx1120212xdzdxxxxzoy112xz123xyDxzD221xzDxdxdzx2121+221xxdxx奇函数11221112211dxxdxx112arcsinx单位圆的面积计算dSzyx)(222,其中为八面体azyx||||||的表面。例2：解由对称性，18，(1为的第一卦限部分)机动目录上页下页返回结束1：yxaz，dxdyzzdSyx221dxdy3dSzyx)(2221)(8222dSzyxdxdyxxyD2324.324a0,0,:yxayxDxy1238dSxxaadyxdx020324adxxax02)(324由轮换对称性xozy例3：设2222:azyx计算.d),,(SzyxfI解:锥面22yxz222yxaz1设,2),(222ayxyxDyx与上半球面的交线为为上半球面夹于锥面间的部分，则它在xoy面上的投影域为1yxD,122222yxaazzyx又机动目录上页下页返回结束则222yxaa1d)(22SyxIyxDyx)(22dd2022220aaa)258(614ayxddxozy1yxD机动目录上页下页返回结束思考:若此例中被积函数改为计算结果如何?2),(222ayxyxDyx例4：计算dSzyxI)(222，其中是球面Rzzyx2222，0R。机动目录上页下页返回结束解：球面的参数方程为：cossinsincossinRRzRyRx200222),(),(),(),(),(),(yxxzzysin2RddRRIDsin)cos1(22248R四、物理应用的面密度为曲面设;dSM机动目录上页下页返回结束:)2(的质心坐标,,xdSydSzdSxyzdSdSdS是常数，则若111,,xxdSyydSzzdSAAA称为形心的面积是其中A的质量：)1(机动目录上页下页返回结束的转动惯量三个坐标轴及坐标原点对,)(22dSzyIx,)(22dSxzIy,)(22dSyxIzdSzyxI)(2220的转动惯量或一点空间一条直线对)()3(00PLdSdIL20的距离或点上任一点到直线是曲面其中)(00PLd特别地机动目录上页下页返回结束质点的引力处质量为对位于0000),,()4(mzyx,)(300dSrxxGmFxdSryyGmFy300)(202020)()()(zzyyxxr：其中,)(300dSrzzGmFz},,{zyxFFFF为引力常数。G例5：计算其中是球面由轮换对称性：SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd4解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用质心公式SxdSd).(2222zyxzyx机动目录上页下页返回结束例6：求均匀圆柱面对位于圆柱底面中心的单位质量的质点的引力。解：设圆柱方程为222Ryx，高为h，面密度为。由对称性知0yxFFdSzyxzGFz23222)(0机动目录上页下页返回结束柱面的参数方程为：，zzRyRxsincos200hz222),(),(),(),(),(),(zyxzxzzzyRdSzyxzGFz23222)(0)1(222hRRG机动目录上页下页返回结束dzdzRRzGDz2322)()1(2,0,022hRRGF所求引力例7：设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解：yzxohRR建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为,利用球面参数方程，则ddsind2RS卫星覆盖面积为SAd0202dsindR)cos1(22RhRRcoshRhR22机动目录上页下页返回结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24RA)(2hRh)640036000(236000%5.40由以上结果可知,卫星覆盖了地球31以上的面积,故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A(见下册P188例1).yzxohRRhRhRA22内容小结1.定义:iiiiSf),,(ni10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则yxDyxf,,(),(yxz)221yxzzyxdd(曲面的其他两种情况类似)注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、对称性、质心公式等简化计算。机动目录上页下页返回结束习题9-4(P276)3，5，6，9，10，11第五节目录上页下页返回结束作业备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的面密度的质量M.解:在xoy面上的投影为,2:22yxDyx故SMdd41d322020)41d(418162202