电磁场的边界条件

电磁场的边界条件姓名：桑薇薇学号：09901140131专业：通信工程班级：电工1401提交日期：2016.5.28成绩：电磁场的边界条件1.引言2.边界条件分类3.边界条件的作用4.结束语5.参考文献1.引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等），边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。2.边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1，1和1，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为2，2和2。在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高h为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积S非常小，可以认为在S上的电位移矢量D和面电荷密度S是均匀的。1n，2n分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律1122dSSDSnDSnDSS故图3.9电场法向分量的边界条件1122SnDnD(3.48a)若规定n为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则1nn，2nn，式(3.48a)可写为12()SnDD(3.48b)或12nnSDD(3.48c)式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。因为DE，所以式(3.48)可以用E的法向分量表示111222SnEnE(3.49a)或1122nnSEE(3.49b)若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即0S，所以电场法向分量的边界条件变为12nnDD(3.50a)或1122nnEE(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即20E，20D，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为111nSnDD(3.51a)或11nsE(3.51b)2、电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边h为无限小量，其两个长边为l，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律ddlSBElSt因为12dttlElElEl和d0SBBSlhtt故12ttEE(3.52a)若n为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为图3.10电场切向分量的边界条件12()0nEE(3.52b)式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。用D表示式(3.52a)得1212ttDD(3.53)若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质Ⅰ中电场强度的切向分量必然为零。即10tE(3.54)因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。3、标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图3.11所示。A，B分别位于分界面两侧，且无限靠近，两点的连线0h，且h与分界面法线n平行，从标量电位的物理意义出发，得12d22BABnnAhhElEE由于1nE和2nE为有限值，而0h所以由上式可知0AB，即图3.11电位边界条件AB或12SS(3.55)式中S为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑到电位与电场强度的关系：E，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得1212SSSnn(3.56)式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为12SS1212SSnn(3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为SC（常数）(3.58a)SSn(3.58b)式中n为导体表面外法线方向。4、磁场法向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图3.12所示，其高度0h，上下底面位于分界面两侧且与分界面平行，底面积S很小，n为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律12d0SBSnBSnBS则12()0nBB(3.59a)或12nnBB(3.59b)式(3.59)为磁场法向分量的边界条件。该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。因为BH，所以式(3.59b)也可以用H的法向分量表示1122nnHH(3.60)若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故10nB(3.61)图3.12磁场法向分量的边界条件因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。5、磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13所示。环路短边0h，两长边l分别位于分界面两侧，且平行于分界面。在此环路上应用安培环路定律dlHlI，即12dttlHlHlHl穿过闭合回路中的总电流为12122222SCChhIJlJlJlDhDhlltt式中SJ为分界面上面电流密度，1CJ，2CJ分别为两种媒质中的传导电流体密度，1Dt和2Dt分别为两种媒质中的位移电流密度。因为0h，除SJl外，回路中的其他电流成分均趋向零，即SIJl，于是12ttSHHJ(3.62a)式中SJ方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。用矢量关系，式(3.62a)可表示为12()SnHHJ(3.62b)图3.13磁场切向分量的边界条件式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。式中n为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ的法线单位矢量。用B表示式(3.62a)得1212ttSBBJ(3.63)若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度0SJ，则磁场切向分量边界条件为12ttHH(3.64a)或1212ttBB(3.64b)由式(3.59b)和式(3.64b)可得1122tantan若媒质Ⅱ为高磁导率材料21()，当2小于90时，1将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当2时，10，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。120ttHH(3.65)若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上0SJ，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为tSHJ(3.66a)或SnHJ(3.66b)若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过，其电流只是以体电流分布的形式存在，在分界面上没有面电流分布，即0SJ，则分界面上磁场切向分量是连续的，即12ttHH。6、矢量磁位的边界条件根据矢量磁位A所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程，可推导出A的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以A矢量在分界面处也应是连续的，即12SSAA(3.67)由式(3.63)可得121211()()ttSAAJ(3.68)7、标量磁位的边界条件在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为d0lHl(3.69)0H(3.70)根据矢量运算，由式(3.70)可引入一标量函数m，令mH(3.71)该标量函数m称为标量磁位，其单位是安培(A)。式(3.71)中的负号是为了与静电场中E相对应而引入的。引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。类似于电位差的计算，a点和b点的磁位差为dbmabmambaHl(3.72)根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得12mmSS(3.73a)1212mmSSnn(3.73b)式(3.73)为标量磁位的边界条件。8、电流密度的边界条件在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图3.14所示，其高度0h，上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积S很小。n为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量。根据电流连续性方程ddVCSVJSVt(3.74)在图3.14所示的闭合曲面上，12dcnnSJSJSJS(3.75)图3.14电流密度的边界条件ddVVVVQVVttt(3.76)式中Q为闭合曲面包围的总电荷,当0h时，有SQS(3.77)将式(3.77)代入式(3.76)得dVSVVStt(3.78)将式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得12SnnJJt(3.79a)或12()SnJJt(3.79b)根据导电媒质中的物态方程CJE，又已知在分界面处电场切向分量连续，即12ttEE，所以电流密度的切向分量满足1212ttJJ(3.80a)或1212[]0JJn(3.80b)式(3.79)和式(3.80)为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。标量形式矢量形式snnDD2112()SnDDttEE2112()0nEEnnBB2112()0nBBsttJHH2112()SnHHJtJJsnn2112()SnJJt2211ttJJ1212()0JJn21AA12SS3.边界条件的作用一般电磁场的求解都需要解偏微分方程的，确定边界条件就是对于求得偏微分方程的解起到重要作用。4.结束语电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。这些边界条件是1212SSSnnn·(D1-D2)=ρs；(1)n×(E1-E2)=0；(2)n·(B1-B2)=0；(3)n×(H1-H2)=J)s。(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρs为分界面上的自由电荷面密度,Js为分界面上的传导电流面密度。式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。5.参考文献1.《电磁场与电磁波第二版》杨儒贵主编高等教育出版社2.《电磁场理论基础第二版》柯亨玉主编人民邮电出版社3.《电磁场与电磁波第四版》谢处方主编高等教育出版社