三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)万能公式sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：)(；)()(2；)(2；22等等。例1函数ππ2sincos()36yxxxR的最小值等于（）．（A）3（B）2（C）1（D）5解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362xx，所以将函数()fx的表达式转化为πππ()2coscoscos666fxxxx，故()fx的最小值为1．故选（C）．评注：常见的角的变换有：()，2()()，2()，22，3πππ()442，ππ44．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．例2、已知,,1411)cos(,71cos均是锐角，求cos。解：。。）21734143571)1411(cos1435sin(,734sin.sin)sin(cos)cos(])cos[(cos小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(的变换。例3、已知cos(91)2,sin(2-)=32,且,20,2求.2cos分析：观察已知角和所求角，可作出)2()2(2的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。解：.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122例4、已知),2sin(sinm求证：).1(tan11)tan(mmm分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2所证等式含角,,所以以角为突破口。证明：.tan11tan(1sin)cos()1(cos)sin()1(,sin)cos(cos)sin(sin)cos(cos)sin(],)sin[(])sin[(,)(,)(2mmmmmmmm）即小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．例1、若sin（α+β）=12,sin（α—β）＝110，求tantan解：由sin=（α+β）=12,sin（α—β）＝110得1sincoscossin312sincos,cossin1105sincoscossin10解得－∴tantan＝sincoscossin＝32例2、当π04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是（）．（A）4（B）12（C）2（D）14解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子与分母同时除以2cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为π04x，所以0tan1，所以2211()4tantan11tan24fxxxx≥．故选（A）．评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sintancosxxx将“弦函数”化为“切函数”进行解答．例3、化简：000cos10(tan103)sin50解：原式00000000000sin10cos10sin103cos10cos102cos40(3)2cos10sin50cos10sin50sin50例4、已知tan()34，求22sincossinsincos1的值。解：∵tan()14tantan()2441tan()4，∴222222sincos2sincos2tan47sinsincos1sinsincossincos2tantan1点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．例1、已知为第二象限角，且15sin4，求πsin4sin2cos21的值．分析：由于已知条件中知道sin的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．解：原式22(sincos)2(sincos)22sincos2cos4cos(sincos)当为第二象限角，且15sin4时，sincos0，1cos4，所以πsin242sin2cos214cos．评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．例2、求值：480sin20sin220sin820sin433解：原式：＝20sin3)20sin21(20sin432＝20sin340cos20sin43=20sin340cos20sin4)2040sin(2=20sin320sin40cos20cos40(sin2＝20sin3)2040sin(2＝332注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。例3、化简2cos2cos21coscossinsin2222。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式2cos2cos21)2cos1)(2cos1(41)2cos1)(2cos1(41)2cos2cos2cos2cos1(41)2cos2cos2cos2cos1(412cos2cos21212cos2cos21)2cos2cos1(21四、常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：222222cotcsctanseccossin1，0045sin90sin1，sincsc1,cossec1等等。例1、已知πtan24，求212sincoscos的值．分析：由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sincos，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．解：由π1tantan241tan，得1tan3，于是原式2222sincostan122sincoscos2tan13．评注：对于题中所给三角式中的常数（如：231323，，，等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．例2、求值（21cos80o—23cos10o）·1cos20o解：∵21cos80o—23cos10o＝2222cos103cos80cos80cos10oooo－＝223cos10sin10oooooo（cos10+3sin10）（cos10－sin10）＝22cos10cos10sin10oooooooooo4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）＝24sin40sin201sin204ooo＝16sin40sin20oo＝32cos20o∴原式＝32例3、(2004年全国高考题)求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。解：xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244)cossin1(2cossin122xxxx212sin41x。所以函数)(xf的最小正周期是，最大值为43，最小值为41。五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．例1、已知sinsin(3)m，1m且ππ()2kkZ，π()2kkZ．求证：1tan()tan1mm．分析：由于已知和结论中都含有参数m，所以我们可以把已知变形，求出sinsin(2)mm，，代入1tan1mm化简，即可证得等式成立．评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝sin22sin，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。例1：求值：212cos412csc)312tan32（解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。原式＝212cos412sin1)312cos12sin3(2（切、割化为弦）=)112cos2(12cos12sin212cos312sin32=24cos24sin)12cos