矩阵特征值的计算

1矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩矩矩矩阵的特征值和特征向量问题。阵的特征值和特征向量问题。阵的特征值和特征向量问题。阵的特征值和特征向量问题。����计算方阵计算方阵计算方阵计算方阵的特征值，就是求特征多项式方程：的特征值，就是求特征多项式方程：的特征值，就是求特征多项式方程：的特征值，就是求特征多项式方程：A0||=−IAλ即0111=++⋅⋅⋅++−−nnnnpppλλλ的根。求出特征值后，再求相应的齐次线性方程组：λ0)(=−xIAλ的非零解，即是对应于对应于对应于对应于的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量。这对于阶数较小的矩阵是λ可以的，但对于阶数较大的矩阵来说，求解是十分困难，所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的。����如果矩阵如果矩阵如果矩阵如果矩阵与与与与相似，则相似，则相似，则相似，则与与与与有相同的特征值。有相同的特征值。有相同的特征值。有相同的特征值。ABAB因此希望在相似变换下，把在相似变换下，把在相似变换下，把在相似变换下，把化为最简单的形式。化为最简单的形式。化为最简单的形式。化为最简单的形式。一般矩阵A的最简单的形式是约当约当约当约当（（（（JordanJordanJordanJordan））））标准形标准形标准形标准形。由于在一般情况下，用相似变换把矩阵化为约当标准形是很困难的，所以设法对矩A阵依次进行相似变换，使其逐步趋向于一个约当标准形，从而A求出的特征值。A下面主要介绍求部分特征值和特征向量的幂法幂法幂法幂法、反幂法反幂法反幂法反幂法，求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比雅可比雅可比雅可比（（（（Jacobi)Jacobi)Jacobi)Jacobi)方法方法方法方法，求任意矩阵全部特征值的方法方法方法方法。QR2§§§§1111幂法与反幂法幂法与反幂法幂法与反幂法幂法与反幂法一、幂法一、幂法一、幂法一、幂法����幂法：幂法：幂法：幂法：是一种求任意矩阵是一种求任意矩阵是一种求任意矩阵是一种求任意矩阵的按模最大特征值及其对应的按模最大特征值及其对应的按模最大特征值及其对应的按模最大特征值及其对应特特特特A征向量的迭代算法。征向量的迭代算法。征向量的迭代算法。征向量的迭代算法。该方法最大的优点是计算简单，容易在计算机上实现，对稀疏矩阵较为合适，但有时收敛速度很慢。为了讨论简单，我们假设：假设：假设：假设：(1)阶方阵的特征值按模的大小排列nAnλλλ,,,21⋅⋅⋅(1)(1)(1)(1)||||||21nλλλ≥⋅⋅⋅≥(2)是对应于特征值的特征向量；iviλ),,2,1(ni⋅⋅⋅=(3)线性无关。nvvv,,,21⋅⋅⋅任取一个非零的初始向量任取一个非零的初始向量任取一个非零的初始向量任取一个非零的初始向量，由矩阵构造一个向量序列向量序列向量序列向量序列0xA(2)⋅⋅⋅==−,2,1,1kAxxkk称为迭代向量迭代向量迭代向量迭代向量。由于线性无关，构成维向量空间的一组基，所nvvv,,,21⋅⋅⋅n以，初始向量可唯一表示成：0x(3)nnvavavax+⋅⋅⋅++=22110于是(4)])()([121221112221110221nknnkknknnkkkkkkvavavavavavaxAxAAxxλλλλλλλλ+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++==⋅⋅⋅===−−3因为比值，所以),,2,1(1||||1nii⋅⋅⋅=λλ(5)111limvaxkkk=∞→λ当充分大时，有k(6)111vaxkkλ≈从而(7)11111vaxkk++≈λ这说明当充分大时，两个相邻迭代向量与近似地相差k1+kxkx一个倍数，这个倍数便是矩阵矩阵矩阵矩阵的按模最大的特征值的按模最大的特征值的按模最大的特征值的按模最大的特征值。若用A1λ表示向量的第个分量，则ikx)(kxi(8)ikikxx)()(11+≈λ即两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵的按模的按模的按模的按模A最大的特征值。最大的特征值。最大的特征值。最大的特征值。因为，又，所以有，因kkxx11λ≈+kkAxx=+1kkxAx1λ≈此向量向量向量向量可近似地作为对应于可近似地作为对应于可近似地作为对应于可近似地作为对应于的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量。kx1λ这种由已知的非零向量和矩阵的乘幂构造向量序列0xA以计算矩阵的按模最大特征值及其相应特征向量的方法}{kxA称为幂法幂法幂法幂法。由(4)式知，幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值的大小。的大小。的大小。的大小。比||||12λλ4值越小，收敛越快，但当比值接近于1时，收敛十分缓慢。||||12λλ用幂法进行计算时，如果，则迭代向量的各个1||1λkx不为零的分量将随着无限增大而趋于无穷。反之，如果k，则的各分量将趋于零。这样在有限字长的计算1||1λkx机上计算时就可能溢出停机。为了避免这一点，在计算过程中，常采用把每步迭代的向量进行规范化规范化规范化规范化，即用即用即用即用乘以一个常乘以一个常乘以一个常乘以一个常kxkx数，使得其分量的模最大为数，使得其分量的模最大为数，使得其分量的模最大为数，使得其分量的模最大为1111。�幂法迭代公式：幂法迭代公式：幂法迭代公式：幂法迭代公式：(9)⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅===−kkkkkkkmyxkymAxy/),2,1()max(1其中是模最大的第一个分量。相应地取  kmky(10)⎩⎨⎧≈≈)(11kkkyxvm或λ例例例例1111设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=210121012A用幂法求其模为最大的特征值及其相应的特征向量(精确到小数点后三位)。解解解解取，计算结果如表1所示。Tx)1,1,1(0=5表表表表1111当时，已经稳定，于是得到：7=kkx414.371=≈mλ及其相应的特征向量为：1vTxv)707.0,1,707.0(71−−=≈����应用幂法时，应注意以下两点：应用幂法时，应注意以下两点：应用幂法时，应注意以下两点：应用幂法时，应注意以下两点：(1)应用幂法时，困难在于事先不知道特征值是否满足(1)式，以及方阵是否有个线性无关的特征向量。克服上述困难An的方法是：先用幂法进行计算，在计算过程中检查是否出现了先用幂法进行计算，在计算过程中检查是否出现了先用幂法进行计算，在计算过程中检查是否出现了先用幂法进行计算，在计算过程中检查是否出现了预预预预期的结果。期的结果。期的结果。期的结果。如果出现了预期的结果，就得到特征值及其相应特征向量的近似值；否则，只能用其它方法来求特征值及其相应的特征向量。kykTmkxk1101110122-2221-1133-43-4-0.751-0.754-2.53.5-2.53.5-0.7141-0.7145-2.4283.428-2.4283.428-0.7081-0.7086-2.4163.416-2.4163.416-0.7071-0.7077-2.4143.414-2.4143.414-0.7071-0.7076(2)如果初始向量选择不当，将导致公式(3)中的系数0x1v等于零。但是，由于舍入误差的影响，经若干步迭代后，1a。按照基向量展开时，的系数可能不0xAxkk=nvvv,,,21⋅⋅⋅1v等于零。把这一向量看作初始向量，用幂法继续求向量序列kx，仍然会得出预期的结果，不过收敛速度较慢。⋅⋅⋅++,,21kkxx如果收敛很慢，可改换初始向量。如果收敛很慢，可改换初始向量。如果收敛很慢，可改换初始向量。如果收敛很慢，可改换初始向量。二、原点平移法二、原点平移法二、原点平移法二、原点平移法由前面讨论知道，幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值的大的大的大的大||||12λλ小。小。小。小。当比值接近于1时，收敛可能很慢，一个补救的方法是采用原点平移法原点平移法原点平移法原点平移法。设矩阵(11)pIAB−=其中为要选择的常数。p与与与与除了对角线元素外，其它元素都相同，而除了对角线元素外，其它元素都相同，而除了对角线元素外，其它元素都相同，而除了对角线元素外，其它元素都相同，而的特征的特征的特征的特征ABA值值值值与与与与的特征值的特征值的特征值的特征值之间有关系之间有关系之间有关系之间有关系，并且相应的，并且相应的，并且相应的，并且相应的特特特特iλBiµpii−=λµ征向量相同。征向量相同。征向量相同。征向量相同。这样，要计算的按模最大的特征值，就是适当选择参数适当选择参数适当选择参数适当选择参数A，使得，使得，使得，使得仍然是仍然是仍然是仍然是的按模最大的特征值，且使的按模最大的特征值，且使的按模最大的特征值，且使的按模最大的特征值，且使pp−1λB||||1212λλλλ−−pp对应用幂法，使得在计算的按模最大的特征值BBp−1λ7的过程中得到加速，这种方法称为原点平移法原点平移法原点平移法原点平移法。例例例例2222设4阶方阵有特征值A4,3,2,1,15=−=iiiλ比值，令作变换9.0||||12==λλr12=ppIAB−=则的特征值为B1,0,1,24321−====µµµµ应用幂法计算的按模最大的特征值时，确定收敛速度的比B1µ值为：9.0||||5.0121212≈=−−=λλλλµµpp所以对应用幂法时，可使幂法得到加速。B虽然选择适当的值，可以使得幂法得到加速，但由于矩阵p的特征值的分布情况事先并不知道，所以在计算时，用原点平移法有一定的困难。下面考虑当的特征值为实数时，如何选择参数，以使Ap得用幂法计算时得到加速的方法。1λ设设设设的特征值满足：的特征值满足：的特征值满足：的特征值满足：Annλλλλλ≥⋅⋅⋅≥≥−1321则对于任意实数，的按模最大的特征值ppIAB−=p−1λ或。pn−λ如果需要计算如果需要计算如果需要计算如果需要计算及及及及时，应选择时，应选择时，应选择时，应选择使使使使1λ1vp8||||1ppn−−λλ且确定的收敛速度的比值：且确定的收敛速度的比值：且确定的收敛速度的比值：且确定的收敛速度的比值：min,max112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=pppprnλλλλ当，即时，为最小。这时用)(2ppn−−=−λλ22npλλ+=r幂法计算及时得到加速。1λ1v如果需要计算如果需要计算如果需要计算如果需要计算及及及及时，应选择时，应选择时，应选择时，应选择使使使使nλnvp||||1ppn−−λλ且确定收敛速度的比值：且确定收敛速度的比值：且确定收敛速度的比值：且确定收敛速度的比值：min,max11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=−pppprnnnλλλλ当，即时，为最小。这时)(11ppn−−=−−λλ211−+=npλλr用幂法计算及时得到加速。1λ1v原点平移的加速方法，是一种矩阵变换方法。原点平移的加速方法，是一种矩阵变换方法。原点平移的加速方法，是一种矩阵变换方法。原点平移的加速方法，是一种矩阵变换方法。这种变换容易计算，又不破坏的稀疏性，但参数参数参数参数的选择依赖于对的选择依赖于对的选择依赖于对的选择依赖于对的特的特的特的特ApA征值的分布有大致了解。征值的分布有大致了解。征值的分布有大致了解。征值的分布有大致了解。三、反幂法三、反幂法三、反幂法三、反幂法����反幂法：反幂法：反幂法：反幂法：用于求矩阵用于求矩阵用于求矩阵用于求矩阵的按模最小的特征值和对应的特的按模最小的特征值和对应的特的按模最小的特征值和对应的特的按模最小的特征值和对应的特征征征征A向量，及其求对应于一个给定的近